найдите промежутки знакопостоянства квадратичной функции f(x)=x²-4
Давайте разберем, как найти промежутки знакопостоянства квадратичной функции \( f(x) = x^2 - 4 \).
Шаг 1: Нахождение корней функции
Сначала найдем корни уравнения, приравняв функцию к нулю: \[ f(x) = 0 \implies x^2 - 4 = 0. \] Это уравнение можно решить, используя формулу разности квадратов: \[ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) = 0. \] Отсюда мы находим корни: \[ x - 2 = 0 \implies x = 2, \] \[ x + 2 = 0 \implies x = -2. \] Таким образом, корни функции — \( x = -2 \) и \( x = 2 \).
Шаг 2: Определение промежутков
Теперь разделим числовую прямую на промежутки, основываясь на найденных корнях:
- \( (-\infty, -2) \)
- \( (-2, 2) \)
- \( (2, +\infty) \)
Шаг 3: Исследование знака функции
Теперь нужно определить знак функции на каждом из этих промежутков. Для этого подберем тестовые точки из каждого интервала:
Для интервала \( (-\infty, -2) \): возьмем \( x = -3 \): \[ f(-3) = (-3)^2 - 4 = 9 - 4 = 5 \quad (\text{положительно}). \]
Для интервала \( (-2, 2) \): возьмем \( x = 0 \): \[ f(0) = 0^2 - 4 = 0 - 4 = -4 \quad (\text{отрицательно}). \]
Для интервала \( (2, +\infty) \): возьмем \( x = 3 \): \[ f(3) = 3^2 - 4 = 9 - 4 = 5 \quad (\text{положительно}). \]
Шаг 4: Запись промежутков знакопостоянства
Теперь мы можем определить, где функция принимает положительные и отрицательные значения:
- На промежутке \( (-\infty, -2) \) функция \( f(x) \) положительна.
- На промежутке \( (-2, 2) \) функция \( f(x) \) отрицательна.
- На промежутке \( (2, +\infty) \) функция \( f(x) \) снова положительна.
Ответ
Таким образом, промежутки знакопостоянства функции \( f(x) = x^2 - 4 \) следующие:
- Функция положительна на промежутках \( (-\infty, -2) \) и \( (2, +\infty) \).
- Функция отрицательна на промежутке \( (-2, 2) \).
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другой задачей, дайте знать!
