Задача 1. Реши задачу, подробно запиши решение в тетради. После введения и проверки ответа ты сможешь сверить свои записи с предложенным способом решения. На реке организованы…

Задача 1

Дано:

• Расстояние до стоянки (по течению): \( S_1 = 189 \) км
• Время на экскурсию: \( 8 \frac{4}{10} = 8.4 \) ч = 8 ч 24 мин
• Время в пути на обратном пути: \( t_2 \)
• Скорость течения реки: \( v_t = 3 \) км/ч
• Длительность всей поездки: \( T = 24 \) ч

Необходимо найти:

• Собственная скорость теплохода \( v_s \).

Решение:

1. Определим время в пути:

   Время, затраченное на движение по течению к стоянке, обозначим как \( t_1 \). Таким образом, весь путь занимает: \[ T = t_1 + 8.4 + t_2 \] Из этого уравнения найдем \( t_1 + t_2 \): \[ t_1 + t_2 = 24 - 8.4 = 15.6 \text{ ч} \]

2. Запишем уравнения для времени в пути:

   Для пути по течению: \[ t_1 = \frac{S_1}{v_s + v_t} = \frac{189}{v_s + 3} \]

   Для пути против течения: \[ t_2 = \frac{S_1}{v_s - v_t} = \frac{189}{v_s - 3} \]

3. Подставим эти выражения в уравнение для \( t_1 + t_2 \): \[ \frac{189}{v_s + 3} + \frac{189}{v_s - 3} = 15.6 \]

   Умножим на \( (v_s + 3)(v_s - 3) \) для устранения знаменателей: \[ 189(v_s - 3) + 189(v_s + 3) = 15.6(v_s^2 - 9) \]

   Упрощаем: \[ 189v_s - 567 + 189v_s + 567 = 15.6v_s^2 - 140.4 \] \[ 378v_s = 15.6v_s^2 - 140.4 \]

4. Переставим уравнение: \[ 15.6v_s^2 - 378v_s - 140.4 = 0 \]

5. Решим квадратное уравнение: Используем формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-378)^2 - 4 \cdot 15.6 \cdot (-140.4) = 142884 + 8770.08 \approx 151654.08 \] \[ v_s = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{378 \pm \sqrt{151654.08}}{2 \cdot 15.6} \] \[ \sqrt{151654.08} \approx 389.5 \] \[ v_s = \frac{378 \pm 389.5}{31.2} \]

   Вычисляем 2 корня:

   1. \( v_s = \frac{767.5}{31.2} \approx 24.6 \) км/ч (приемлемый результат)
   2. \( v_s = \frac{-11.5}{31.2} \) (неприемлемый, так как скорость не может быть отрицательной)

Ответ:

Собственная скорость теплохода \( v_s \approx 24.6 \) км/ч.

Задача 2

Дано:

• Расстояние между пристанями: \( S = 24 \) км
• Путь, проделанный плотом: \( d_P = 15 \) км
• Время, прошедшее с момента отправления лодки: 1 час
• Скорость течения реки: \( v_t = 5 \) км/ч
• Скорость лодки по течению: \( v_L \)

Необходимо найти:

• Скорость лодки по течению \( v_L \).

Решение:

1. Определим время на пути лодки: Лодка отправляется через 1 час после плота, и когда она достигает следующей пристани, плот уже проходит 15 км.

   Время, затраченное на путь плота: \[ t_P = \frac{d_P}{v_t} \]

   Плот идет вместе с течением, поэтому скорость плота \( v_P \): \[ v_P = v_t = 5 \text{ км/ч} \]

   Плот проехал 15 км, значит, время его пути: \[ t_P = \frac{15}{5} = 3 \text{ ч} \]

   Тогда с момента отправки плота до того момента, как лодка вернется, прошло 3 + 1 = 4 ч.

2. Определим скорость лодки: Лодка движется сначала по течению до следующей пристани, а затем обратно.

   Время в пути лодки (временные затраты):

   • Пусть \( t_1 \) – время, затраченное лодкой на движение до пристани.
   • Пусть \( t_2 \) – время лодки на движение обратно.

   Время, затраченное на всю поездку лодки: \[ t_1 + t_2 = 4 \text{ ч} \]

   Запишем время движения лодки: \[ t_1 = \frac{S}{v_L + v_t} = \frac{24}{v_L + 5} \] \[ t_2 = \frac{S}{v_L - v_t} = \frac{24}{v_L - 5} \]

3. Запишем уравнение для времени: \[ \frac{24}{v_L + 5} + \frac{24}{v_L - 5} = 4 \]

   Умножим на \( (v_L + 5)(v_L - 5) \): \[ 24(v_L - 5) + 24(v_L + 5) = 4((v_L)^2 - 25) \] Упрощаем: \[ 24v_L - 120 + 24v_L + 120 = 4v_L^2 - 100 \] \[ 48v_L = 4v_L^2 - 100 \] Переставляем: \[ 4v_L^2 - 48v_L - 100 = 0 \] Делим на 4: \[ v_L^2 - 12v_L - 25 = 0 \]

4. Решаем квадратное уравнение: Дискриминант: \[ D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-25) = 144 + 100 = 244 \] Корни: \[ v_L = \frac{12 \pm \sqrt{244}}{2} = \frac{12 \pm 15.6}{2} \] Находим корни:

   1. \( v_L = \frac{27.6}{2} = 13.8 \) км/ч (приемлемый корень)
   2. \( v_L = \frac{-3.6}{2} = -1.8 \) (неприемлемый, так как скорость не может быть отрицательной)

Ответ:

Скорость лодки по течению \( v_L \approx 13.8 \) км/ч.