Задача 1. Реши задачу, подробно запиши решение в тетради. После введения и проверки ответа ты сможешь сверить свои записи с предложенным способом решения. На реке организованы теплоходные туры выходного дня. Судно прошло по течению 189 км до стоянки, на которой пассажирам предложили выход на экскурсию (это мероприятие заняло 8 4), после чего теплоход вернулся обратно к месту отплытия. Какова собственная скорость теплохода, если известно, что скорость течения реки Волги на этом участке составляет в среднем 3 км/ч, а длительность всей поездки составляет ровно сутки? Задача 2. Реши задачу, подробно запиши решение в тетради. После введения и проверки ответа ты сможешь сверить свои записи с предложенным способом решения. От пристани около турбазы отправился в путь плот. Через 1 ч вдогонку отправилась моторная лодка, которая дошла до следующей пристани и сейчас же повернула обратно, вернулась к первой пристани. К моменту возвращения лодки плот уже проделал путь в 15 км. Найди скорость лодки по течению, если расстояние между пристанями составляет 24 км, а скорость течения реки на этом участке составляет 5 км/ч.

## Задача 1 ### Дано: - Расстояние до стоянки (по течению): \( S_1 = 189 \) км - Время на экскурсию: \( 8 \frac{4}{10} = 8.4 \) ч = 8 ч 24 мин - Время в пути на обратном пути: \( t_2 \) - Скорость течения реки: \( v_t = 3 \) км/ч - Длительность всей поездки: \( T = 24 \) ч ### Необходимо найти: - Собственная скорость теплохода \( v_s \). ### Решение: 1. **Определим время в пути:** Время, затраченное на движение по течению к стоянке, обозначим как \( t_1 \). Таким образом, весь путь занимает: \[ T = t_1 + 8.4 + t_2 \] Из этого уравнения найдем \( t_1 + t_2 \): \[ t_1 + t_2 = 24 - 8.4 = 15.6 \text{ ч} \] 2. **Запишем уравнения для времени в пути:** Для пути по течению: \[ t_1 = \frac{S_1}{v_s + v_t} = \frac{189}{v_s + 3} \] Для пути против течения: \[ t_2 = \frac{S_1}{v_s - v_t} = \frac{189}{v_s - 3} \] 3. **Подставим эти выражения в уравнение для \( t_1 + t_2 \):** \[ \frac{189}{v_s + 3} + \frac{189}{v_s - 3} = 15.6 \] Умножим на \( (v_s + 3)(v_s - 3) \) для устранения знаменателей: \[ 189(v_s - 3) + 189(v_s + 3) = 15.6(v_s^2 - 9) \] Упрощаем: \[ 189v_s - 567 + 189v_s + 567 = 15.6v_s^2 - 140.4 \] \[ 378v_s = 15.6v_s^2 - 140.4 \] 4. **Переставим уравнение:** \[ 15.6v_s^2 - 378v_s - 140.4 = 0 \] 5. **Решим квадратное уравнение:** Используем формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-378)^2 - 4 \cdot 15.6 \cdot (-140.4) = 142884 + 8770.08 \approx 151654.08 \] \[ v_s = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{378 \pm \sqrt{151654.08}}{2 \cdot 15.6} \] \[ \sqrt{151654.08} \approx 389.5 \] \[ v_s = \frac{378 \pm 389.5}{31.2} \] Вычисляем 2 корня: 1. \( v_s = \frac{767.5}{31.2} \approx 24.6 \) км/ч (приемлемый результат) 2. \( v_s = \frac{-11.5}{31.2} \) (неприемлемый, так как скорость не может быть отрицательной) ### Ответ: **Собственная скорость теплохода \( v_s \approx 24.6 \) км/ч.** --- ## Задача 2 ### Дано: - Расстояние между пристанями: \( S = 24 \) км - Путь, проделанный плотом: \( d_P = 15 \) км - Время, прошедшее с момента отправления лодки: 1 час - Скорость течения реки: \( v_t = 5 \) км/ч - Скорость лодки по течению: \( v_L \) ### Необходимо найти: - Скорость лодки по течению \( v_L \). ### Решение: 1. **Определим время на пути лодки:** Лодка отправляется через 1 час после плота, и когда она достигает следующей пристани, плот уже проходит 15 км. **Время, затраченное на путь плота:** \[ t_P = \frac{d_P}{v_t} \] Плот идет вместе с течением, поэтому скорость плота \( v_P \): \[ v_P = v_t = 5 \text{ км/ч} \] Плот проехал 15 км, значит, время его пути: \[ t_P = \frac{15}{5} = 3 \text{ ч} \] Тогда с момента отправки плота до того момента, как лодка вернется, прошло 3 + 1 = 4 ч. 2. **Определим скорость лодки:** Лодка движется сначала по течению до следующей пристани, а затем обратно. **Время в пути лодки (временные затраты):** - Пусть \( t_1 \) – время, затраченное лодкой на движение до пристани. - Пусть \( t_2 \) – время лодки на движение обратно. Время, затраченное на всю поездку лодки: \[ t_1 + t_2 = 4 \text{ ч} \] **Запишем время движения лодки:** \[ t_1 = \frac{S}{v_L + v_t} = \frac{24}{v_L + 5} \] \[ t_2 = \frac{S}{v_L - v_t} = \frac{24}{v_L - 5} \] 3. **Запишем уравнение для времени:** \[ \frac{24}{v_L + 5} + \frac{24}{v_L - 5} = 4 \] Умножим на \( (v_L + 5)(v_L - 5) \): \[ 24(v_L - 5) + 24(v_L + 5) = 4((v_L)^2 - 25) \] Упрощаем: \[ 24v_L - 120 + 24v_L + 120 = 4v_L^2 - 100 \] \[ 48v_L = 4v_L^2 - 100 \] Переставляем: \[ 4v_L^2 - 48v_L - 100 = 0 \] Делим на 4: \[ v_L^2 - 12v_L - 25 = 0 \] 4. **Решаем квадратное уравнение:** Дискриминант: \[ D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-25) = 144 + 100 = 244 \] Корни: \[ v_L = \frac{12 \pm \sqrt{244}}{2} = \frac{12 \pm 15.6}{2} \] Находим корни: 1. \( v_L = \frac{27.6}{2} = 13.8 \) км/ч (приемлемый корень) 2. \( v_L = \frac{-3.6}{2} = -1.8 \) (неприемлемый, так как скорость не может быть отрицательной) ### Ответ: **Скорость лодки по течению \( v_L \approx 13.8 \) км/ч.**