Даны действительные числа а, b и с.Найдите минимальное значение выражения 〖(7+a-b)〗^2+〖(2+b+c)〗^2+〖(9+c-a)〗^2

Чтобы найти минимальное значение выражения \( E = (7 + a - b)^2 + (2 + b + c)^2 + (9 + c - a)^2 \), рассмотрим, что данное выражение состоит из трех квадратов.

1. Определим переменные: Обозначим:
   • \( x = 7 + a - b \)
   • \( y = 2 + b + c \)
   • \( z = 9 + c - a \)

Таким образом, мы можем переписать \( E \) как: \[ E = x^2 + y^2 + z^2 \]

2. Найдем значения \( x \), \( y \), и \( z \): Выражения для \( x \), \( y \), и \( z \) можно переписать через \( a \), \( b \), и \( c \):

   • \( x = (7 + a - b) \)
   • \( y = (2 + b + c) \)
   • \( z = (9 + c - a) \)

3. Зададим систему уравнений: Чтобы минимизировать \( E \), необходимо приравнять каждую из переменных к нулю. Рассмотрим систему: \[ x = 0 \quad \Rightarrow \quad 7 + a - b = 0 \quad \Rightarrow \quad a - b = -7 \quad \Rightarrow \quad a = b - 7 \] \[ y = 0 \quad \Rightarrow \quad 2 + b + c = 0 \quad \Rightarrow \quad b + c = -2 \quad \Rightarrow \quad c = -2 - b \] \[ z = 0 \quad \Rightarrow \quad 9 + c - a = 0 \quad \Rightarrow \quad c - a = -9 \quad \Rightarrow \quad c = a - 9 \]

Теперь у нас есть три выражения:

1. \( a = b - 7 \)
2. \( c = -2 - b \)
3. \( c = a - 9 \)

Подставив \( a = b - 7 \) в последнее уравнение: \[ -2 - b = (b - 7) - 9 \] Это упрощается до: \[ -2 - b = b - 16 \] Теперь соберем все \( b \) в одну сторону: \[ -2 + 16 = b + b \] \[ 14 = 2b \quad \Rightarrow \quad b = 7 \]

Теперь найденное значение \( b \) подставим в \( a \) и \( c \): \[ a = b - 7 = 7 - 7 = 0 \] \[ c = -2 - b = -2 - 7 = -9 \]

Таким образом, найдены значения: \( a = 0 \), \( b = 7 \), \( c = -9 \).

4. Теперь подставим эти значения в исходное выражение \( E \): \[ E = (7 + 0 - 7)^2 + (2 + 7 - 9)^2 + (9 - 9 - 0)^2 \] \[ = (0)^2 + (0)^2 + (0)^2 = 0 \]

5. Заключение: Минимальное значение выражения \( E \) равно \( 0 \), и оно достигается при \( a = 0 \), \( b = 7 \), \( c = -9 \).