13:04 - [VPN]74 Вариант 1 1. Решите неравенство: 1. a) x2 -7x-30 < 0; a б) x2 < 81; б b) x2 - 6 x +9 $ 0; B г) (x + 3)( x - 4)( x - 7) 0. № 2 -один пример на выбор а) - 1 балл,…

Давайте подробно разберем каждую из предложенных задач.

Задача 1: Решите неравенство

1. a) \(x^2 - 7x - 30 < 0\)

1. Найдем корни квадратного уравнения \(x^2 - 7x - 30 = 0\) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169 \] Корни уравнения: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 13}{2} = 10 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 13}{2} = -3 \]
2. Определим интервалы для тестирования знака неравенства:
   • Интервалы: \((-∞, -3)\), \((-3, 10)\), \((10, +∞)\)
3. Тестируем знак неравенства:
   • Для \(x = -4\) из интервала \((-∞, -3)\): \[ (-4)^2 - 7(-4) - 30 = 16 + 28 - 30 = 14 > 0 \]
   • Для \(x = 0\) из интервала \((-3, 10)\): \[ 0^2 - 7 \cdot 0 - 30 = -30 < 0 \]
   • Для \(x = 11\) из интервала \((10, +∞)\): \[ 11^2 - 7 \cdot 11 - 30 = 121 - 77 - 30 = 14 > 0 \]
4. Ответ: \(x \in (-3, 10)\).

1. б) \(x^2 < 81\)

1. Корни: \(x^2 - 81 = 0\) дает корни \(x = 9\) и \(x = -9\).
2. Интервалы: \((-∞, -9)\), \((-9, 9)\), \((9, +∞)\)
3. Тестируем знак:
   • Для \(x = -10\): \(100 < 81\) (ложь — в этом интервале)
   • Для \(x = 0\): \(0 < 81\) (истина — здесь)
   • Для \(x = 10\): \(100 < 81\) (ложь — в этом интервале)
4. Ответ: \(x \in (-9, 9)\).

1. в) \(x^2 - 6x + 9 \geq 0\)

1. Извлечем корни: \[ (x - 3)^2 = 0 \Rightarrow x = 3 \]
2. Этот квадратный трёхчлен не меняет знак в точке \(x = 3\).
3. Неравенство: \(x^2 - 6x + 9 = 0\) неравенство выполнено для всех значений: \[ x \leq 3 \text{ или } x \geq 3 \Rightarrow x \text{ любое число} \]
4. Ответ: \( x \in (-∞, +∞)\).

1. г) \((x + 3)(x - 4)(x - 7) \leq 0\)

1. Корни: \(x = -3\), \(x = 4\), \(x = 7\).
2. Интервалы: \((-∞, -3)\), \((-3, 4)\), \((4, 7)\), \((7, +∞)\)
3. Тестируем знак:
   • Для \(x = -4\): знак положителен.
   • Для \(x = 0\): знак отрицателен.
   • Для \(x = 5\): знак положителен.
   • Для \(x = 8\): знак положителен.
4. Суть: Знак будет отрицательным на интервале \([-3, 4]\) и в точках.
5. Ответ: \(x \in [-3, 4]\).

Задача 2: Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств

2. a) \(x < 0\) и \(y > 2\)

• \(x < 0\) — это левая половина плоскости, от оси \(y\).
• \(y > 2\) — это область выше прямой \(y = 2\).
• Графически: нарисовать горизонтальную прямую в \(y = 2\) и затем закрасить область слева (в сторону отрицательных \(x\)) выше этой прямой.

2. б) \(y > x^2 + 1\) и \(y < 3\)

• \(y > x^2 + 1\) — это область выше параболы \(y = x^2 + 1\).
• \(y < 3\) — это область ниже прямой \(y = 3\).
• Графически: нарисовать параболу и горизонтальную прямую, и затем затенить область выше параболы и ниже прямой.

2. в) \(x^2 + y^2 < 4\) и \((x - 1)^2 + (y + 2)^2 < 4\)

• \(x^2 + y^2 < 4\) — это круг с центром в \((0, 0)\) и радиусом 2.
• \((x - 1)^2 + (y + 2)^2 < 4\) — это круг с центром в \((1, -2)\) и радиусом 2.
• Графически: нарисовать оба круга и указать области, которые внутри обоих.

Задача 3: Решите неравенство

3. a) \(x + 4 < 6 - 2.3\)

1. Решаем: \[ x + 4 < 3.7 \Rightarrow x < 3.7 - 4 \Rightarrow x < -0.3 \]

3. б) \(2x - 4 > 7 - x\)

1. Решаем: \[ 2x + x > 7 + 4 \Rightarrow 3x > 11 \Rightarrow x > \frac{11}{3} \approx 3.67 \]

Задача 4: Найдите область определения функции

4. a) \(y = \sqrt{4x - x^2}\)

1. Область определения: \(4x - x^2 \geq 0\) \[ x(4 - x) \geq 0 \]
   • Корни: \(x = 0\) и \(x = 4\).
   • Определяем знак: \(x \in [0, 4]\).

4. б) \(y = \frac{2x^2 - 5x + 2}{\sqrt{x^2 - 1}}\)

1. Область определения:
   • Для корня: \(x^2 - 1 > 0\) дает \(x < -1\) или \(x > 1\).
   • Отметим, что числитель \(2x^2 - 5x + 2\) определен для всех \(x\).
   • Ответ: \(x < -1\) или \(x > 1\).

Теперь все задачи проанализированы и объяснены. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!