П

Чтобы понять, как решать задачи из контрольной работы, разберём их пошагово:

Задача 1:

Найти углы треугольника \(ABC\), если \(\angle A : \angle B : \angle C = 1 : 3 : 5\).

1. Понимание соотношений.
   Углы в треугольнике \(ABC\) даны в соотношении \(1:3:5\). Обозначим их как \(x\), \(3x\), и \(5x\).

2. Использование суммы углов треугольника.
   Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\). Запишем уравнение: \[ x + 3x + 5x = 180^\circ \] \[ 9x = 180^\circ \]

3. Нахождение значения \(x\).
   \[ x = \frac{180^\circ}{9} = 20^\circ \]

4. Вычисление углов.
   \[ \angle A = x = 20^\circ, \quad \angle B = 3x = 60^\circ, \quad \angle C = 5x = 100^\circ \]

Задача 4:

Докажите, что в равнобедренном треугольнике высоты, проведенные к боковым сторонам, равны.

1. Свойство равнобедренного треугольника.
   В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны.

2. Рассмотрение треугольника.
   Пусть треугольник \(ABС\) равнобедренный с основанием \(BC\). Проведем высоты \(AD\) и \(AE\), где \(D\) и \(E\) – точки пересечения с боковыми сторонами.

3. Равенство треугольников.
   Треугольники \(ABD\) и \(AEC\) равны по двум сторонам и углу между ними (\(\angle B = \angle C\) из-за равнобедренности).

4. Заключение.
   Из равенства треугольников следует, что высоты \(AD = AE\).

Каждое решение требует понимания свойств треугольников и использования базовых геометрических аксиом и теорем.