(x+3)(x−4)(x−7)≤0
Чтобы решить неравенство \((x+3)(x−4)(x−7)≤0\), следуем нескольким шагам.
Шаг 1: Нахождение нулей.
Для начала найдем значения \(x\), при которых произведение равно нулю:
\[ (x+3)(x−4)(x−7) = 0 \]
Это уравнение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
- \(x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3\)
- \(x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4\)
- \(x - 7 = 0 \Rightarrow x = 7\)
Таким образом, нули функции: \(x = -3\), \(x = 4\), \(x = 7\).
Шаг 2: Разделение числовой оси на интервалы.
Теперь мы можем разделить числовую ось на интервалы с использованием найденных нулей:
- \((-\infty, -3)\)
- \([-3, 4)\)
- \([4, 7)\)
- \([7, +\infty)\)
Шаг 3: Проверка знака на каждом интервале.
Мы будем подставлять числа из каждого интервала, чтобы проверить знак произведения в каждом из них.
Интервал \((-\infty, -3)\): возьмем, например, \(x = -4\): \[ (-4 + 3)(-4 - 4)(-4 - 7) = (-1)(-8)(-11) = -88 \quad (\text{отрицательное}) \]
Интервал \([-3, 4)\): возьмем \(x = 0\): \[ (0 + 3)(0 - 4)(0 - 7) = (3)(-4)(-7) = 84 \quad (\text{положительное}) \]
Интервал \([4, 7)\): возьмем \(x = 5\): \[ (5 + 3)(5 - 4)(5 - 7) = (8)(1)(-2) = -16 \quad (\text{отрицательное}) \]
Интервал \([7, +\infty)\): возьмем \(x = 8\): \[ (8 + 3)(8 - 4)(8 - 7) = (11)(4)(1) = 44 \quad (\text{положительное}) \]
Шаг 4: Объединение результатов.
Теперь у нас есть информация о знаках произведения:
- На интервале \((-\infty, -3)\) — отрицательное.
- На интервале \([-3, 4)\) — положительное.
- На интервале \([4, 7)\) — отрицательное.
- На интервале \([7, +\infty)\) — положительное.
Шаг 5: Учитываем равенство.
Так как у нас неравенство \(\leq 0\), нам нужны только те интервалы, где произведение меньше или равно нулю. Это включает:
- \((-\infty, -3]\) — здесь \(0\) не включается, а \(-3\) включается.
- \([4, 7]\) — здесь оба конца включаются, так как оба значения приводят к нулевой функции.
Итог.
Таким образом, окончательное решение неравенства \((x+3)(x−4)(x−7) ≤ 0\) будет:
\[ \boxed{(-\infty, -3] \cup [4, 7]} \]
