(x+3)(x−4)(x−7)≤0

Чтобы решить неравенство \((x+3)(x−4)(x−7)≤0\), следуем нескольким шагам. ### Шаг 1: Нахождение нулей. Для начала найдем значения \(x\), при которых произведение равно нулю: \[ (x+3)(x−4)(x−7) = 0 \] Это уравнение равно нулю, если один из множителей равен нулю: 1. \(x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3\) 2. \(x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4\) 3. \(x - 7 = 0 \Rightarrow x = 7\) Таким образом, нули функции: \(x = -3\), \(x = 4\), \(x = 7\). ### Шаг 2: Разделение числовой оси на интервалы. Теперь мы можем разделить числовую ось на интервалы с использованием найденных нулей: - \((-\infty, -3)\) - \([-3, 4)\) - \([4, 7)\) - \([7, +\infty)\) ### Шаг 3: Проверка знака на каждом интервале. Мы будем подставлять числа из каждого интервала, чтобы проверить знак произведения в каждом из них. - **Интервал \((-\infty, -3)\)**: возьмем, например, \(x = -4\): \[ (-4 + 3)(-4 - 4)(-4 - 7) = (-1)(-8)(-11) = -88 \quad (\text{отрицательное}) \] - **Интервал \([-3, 4)\)**: возьмем \(x = 0\): \[ (0 + 3)(0 - 4)(0 - 7) = (3)(-4)(-7) = 84 \quad (\text{положительное}) \] - **Интервал \([4, 7)\)**: возьмем \(x = 5\): \[ (5 + 3)(5 - 4)(5 - 7) = (8)(1)(-2) = -16 \quad (\text{отрицательное}) \] - **Интервал \([7, +\infty)\)**: возьмем \(x = 8\): \[ (8 + 3)(8 - 4)(8 - 7) = (11)(4)(1) = 44 \quad (\text{положительное}) \] ### Шаг 4: Объединение результатов. Теперь у нас есть информация о знаках произведения: - На интервале \((-\infty, -3)\) — отрицательное. - На интервале \([-3, 4)\) — положительное. - На интервале \([4, 7)\) — отрицательное. - На интервале \([7, +\infty)\) — положительное. ### Шаг 5: Учитываем равенство. Так как у нас неравенство \(\leq 0\), нам нужны только те интервалы, где произведение меньше или равно нулю. Это включает: 1. \((-\infty, -3]\) — здесь \(0\) не включается, а \(-3\) включается. 2. \([4, 7]\) — здесь оба конца включаются, так как оба значения приводят к нулевой функции. ### Итог. Таким образом, окончательное решение неравенства \((x+3)(x−4)(x−7) ≤ 0\) будет: \[ \boxed{(-\infty, -3] \cup [4, 7]} \]