Сколько элементарных событий с 3 успехами возможно в серии из 9 испытаний Бернулли?

В данной задаче мы рассматриваем ситуацию, описываемую статистической теорией вероятностей, и в частности — испытаниями Бернулли. Мы хотим выяснить, сколько элементарных событий возможно при 3 успехах в серии из 9 испытаний.

Определение:

В испытаниях Бернулли имеется два возможных исхода: успех или неуспех. Когда мы говорим о "3 успехах в 9 испытаниях", это подразумевает, что мы берем 3 удачных события (успеха) и 6 неудач (неуспехов).

Формула для расчета:

Количество способов выбрать \( k \) успехов из \( n \) испытаний определяется с помощью биномиального коэффициента:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где:

• \( n \) — общее количество испытаний (в нашем случае 9),
• \( k \) — количество успехов (в нашем случае 3).

Подсчет:

Подставим значения в формулу:

\[ C(9, 3) = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} \]

Вычислим факториалы:

• \( 9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6! \)
• \( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \)
• \( 6! \) сокращается в числителе и знаменателе.

Теперь подставим это в формулу:

\[ C(9, 3) = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = \frac{504}{6} = 84 \]

Ответ:

Таким образом, количество элементарных событий с 3 успехами в 9 испытаниях Бернулли составляет 84.