Найдите промежутки возрастания , убывания и экстремумы функции. У=x^4-4x^3
Чтобы найти промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции \( y = x^4 - 4x^3 \), следуем следующим шагам:
Шаг 1: Найдите производную функции
Производная функции \( y \) поможет определить характер изменения функции на определённых промежутках.
\[ y' = \frac{d}{dx}(x^4 - 4x^3). \]
Вычислим производную: \[ y' = 4x^3 - 12x^2. \]
Шаг 2: Найдите критические точки
Критические точки находятся, когда производная равна нулю или не существует. В данном случае нет значений, где производная не существует.
\[ 4x^3 - 12x^2 = 0. \]
Решим уравнение: \[ 4x^2(x - 3) = 0. \]
Это даёт нам: \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 3. \]
Шаг 3: Определите интервалы возрастания и убывания
Проверим знаки производной на интервалах, разделенных критическими точками: \( (-\infty, 0) \), \( (0, 3) \) и \( (3, +\infty) \).
На интервале \((-∞, 0)\): выберем \( x = -1 \). \[ y'(-1) = 4(-1)^3 - 12(-1)^2 = -4 - 12 = -16, \] значит функция убывает.
На интервале \( (0, 3)\): выберем \( x = 1 \). \[ y'(1) = 4(1)^3 - 12(1)^2 = 4 - 12 = -8, \] значит функция убывает.
На интервале \( (3, +∞)\): выберем \( x = 4 \). \[ y'(4) = 4(4)^3 - 12(4)^2 = 256 - 192 = 64, \] значит функция возрастает.
Шаг 4: Определите экстремумы
Проверим, что происходит в критических точках:
- В точке \( x = 0 \), функция меняет направление с убывания на убывание, здесь нет экстремума.
- В точке \( x = 3 \), функция меняет направление с убывания на возрастание, следовательно, здесь минимум.
Ответ
- Промежутки возрастания: \( (3, +\infty) \).
- Промежутки убывания: \( (-\infty, 0) \), \( (0, 3) \).
- Минимум: \( x = 3 \).
