Чтобы найти промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции ( y = x^4 - 4x^3 ), следуем следующим шагам:
Шаг 1: Найдите производную функции
Производная функции ( y ) поможет определить характер изменения функции на определённых промежутках.
[
y' = \frac{d}{dx}(x^4 - 4x^3).
]
Вычислим производную:
[
y' = 4x^3 - 12x^2.
]
Шаг 2: Найдите критические точки
Критические точки находятся, когда производная равна нулю или не существует. В данном случае нет значений, где производная не существует.
[
4x^3 - 12x^2 = 0.
]
Решим уравнение:
[
4x^2(x - 3) = 0.
]
Это даёт нам:
[
x = 0 \quad \text{или} \quad x = 3.
]
Шаг 3: Определите интервалы возрастания и убывания
Проверим знаки производной на интервалах, разделенных критическими точками: ( (-\infty, 0) ), ( (0, 3) ) и ( (3, +\infty) ).
На интервале ((-∞, 0)): выберем ( x = -1 ).
[
y'(-1) = 4(-1)^3 - 12(-1)^2 = -4 - 12 = -16,
]
значит функция убывает.
На интервале ( (0, 3)): выберем ( x = 1 ).
[
y'(1) = 4(1)^3 - 12(1)^2 = 4 - 12 = -8,
]
значит функция убывает.
На интервале ( (3, +∞)): выберем ( x = 4 ).
[
y'(4) = 4(4)^3 - 12(4)^2 = 256 - 192 = 64,
]
значит функция возрастает.
Шаг 4: Определите экстремумы
Проверим, что происходит в критических точках:
- В точке ( x = 0 ), функция меняет направление с убывания на убывание, здесь нет экстремума.
- В точке ( x = 3 ), функция меняет направление с убывания на возрастание, следовательно, здесь минимум.
Ответ
- Промежутки возрастания: ( (3, +\infty) ).
- Промежутки убывания: ( (-\infty, 0) ), ( (0, 3) ).
- Минимум: ( x = 3 ).
