Задание 3. В дереве 100 вершин. Найдите среднее арифметическое степеней всех вершин этого дерева.

Чтобы решить задачу, нам нужно понять, что такое степень вершины в дереве и как мы можем найти среднее арифметическое степеней всех вершин.

Определение

Степень вершины в графе (в нашем случае это дерево) — это количество рёбер, соединяющих данную вершину с другими вершинами. В дереве:

1. Если вершина внутреняя (не является листьями), она соединена с двумя или более вершинами.
2. Листья — это вершины, которые соединены только с одной вершиной (то есть, их степень равна 1).

Шаги к решению

1. Свойство дерева: В дереве с \( n \) вершинами всегда существует \( n - 1 \) рёбер. В нашем случае, число вершин \( n = 100 \), значит, количество рёбер в дереве: \[ m = n - 1 = 100 - 1 = 99 \]

2. Вычисление суммы степеней всех вершин: Для любого графа, сумма степеней всех вершин равна удвоенному числу рёбер: \[ \sum \text{степеней всех вершин} = 2m \] Подставим значение \( m \): \[ \sum \text{степеней всех вершин} = 2 \times 99 = 198 \]

3. Найти среднее арифметическое: Теперь мы можем найти среднее арифметическое степеней всех 100 вершин: \[ \text{Среднее арифметическое} = \frac{\sum \text{степеней всех вершин}}{n} = \frac{198}{100} = 1.98 \]

Ответ

Таким образом, среднее арифметическое степеней всех вершин данного дерева составляет \( 1.98 \).