Для решения задачи, нужно найти скалярное произведение векторов ( \mathbf{m} - \mathbf{n} ) и ( 2\mathbf{m} + \mathbf{n} ). Мы будем использовать формулу для скалярного произведения, а также свойства векторов.
Шаг 1: Запись скалярного произведения
Сначала запишем скалярное произведение:
[
(\mathbf{m} - \mathbf{n}) \cdot (2\mathbf{m} + \mathbf{n})
]
Это можно разложить по свойствам скалярного произведения:
[
= \mathbf{m} \cdot (2\mathbf{m} + \mathbf{n}) - \mathbf{n} \cdot (2\mathbf{m} + \mathbf{n})
]
Раскрываем скобки и применяем свойства скалярного произведения:
[
= \mathbf{m} \cdot 2\mathbf{m} + \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} - \mathbf{n} \cdot 2\mathbf{m} - \mathbf{n} \cdot \mathbf{n}
]
[
= 2(\mathbf{m} \cdot \mathbf{m}) + \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} - 2(\mathbf{n} \cdot \mathbf{m}) - \mathbf{n} \cdot \mathbf{n}
]
Шаг 2: Использование свойств скалярного произведения
Воспользуемся тем, что ( \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = \mathbf{n} \cdot \mathbf{m} ):
[
= 2|\mathbf{m}|^2 + \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} - 2(\mathbf{m} \cdot \mathbf{n}) - |\mathbf{n}|^2
]
Соберем подобные члены:
[
= 2|\mathbf{m}|^2 - \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} - |\mathbf{n}|^2
]
Шаг 3: Подставим известные значения
Заданы:
- ( |\mathbf{m}| = 4 )
- ( |\mathbf{n}| = 3 )
- Угол между ( \mathbf{m} ) и ( \mathbf{n} ) равен ( 135^\circ )
Сначала вычислим ( |\mathbf{m}|^2 ) и ( |\mathbf{n}|^2 ):
[
|\mathbf{m}|^2 = 4^2 = 16
]
[
|\mathbf{n}|^2 = 3^2 = 9
]
Теперь необходимо найти скалярное произведение ( \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} ):
[
\mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = |\mathbf{m}| |\mathbf{n}| \cos(135^\circ)
]
[
= 4 \cdot 3 \cdot \cos(135^\circ)
]
[
\cos(135^\circ) = -\frac{1}{\sqrt{2}} \quad \text{(так как cos 135° - это -√2/2)}
]
[
= 4 \cdot 3 \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\frac{12}{\sqrt{2}} = -6\sqrt{2}
]
Подставляем все значения в формулу:
[
= 2(16) - (-6\sqrt{2}) - 9
]
[
= 32 + 6\sqrt{2} - 9
]
[
= 23 + 6\sqrt{2}
]
Ответ
Скалярное произведение векторов ( \mathbf{m} - \mathbf{n} ) и ( 2\mathbf{m} + \mathbf{n} ) равно ( 23 + 6\sqrt{2} ).
