Найди скалярное произведение m → − n → m − n и 2 m → + n → 2 m + n , если ∣ m → ∣ = 4 2 ∣ m ∣=4 2 ​ , ∣ n → ∣ = 3 ∣ n ∣=3 , m → n → ^ = 135 ° m n =135° .

Для решения задачи, нужно найти скалярное произведение векторов \( \mathbf{m} - \mathbf{n} \) и \( 2\mathbf{m} + \mathbf{n} \). Мы будем использовать формулу для скалярного произведения, а также свойства векторов.

Шаг 1: Запись скалярного произведения

Сначала запишем скалярное произведение:

\[ (\mathbf{m} - \mathbf{n}) \cdot (2\mathbf{m} + \mathbf{n}) \]

Это можно разложить по свойствам скалярного произведения:

\[ = \mathbf{m} \cdot (2\mathbf{m} + \mathbf{n}) - \mathbf{n} \cdot (2\mathbf{m} + \mathbf{n}) \]

Раскрываем скобки и применяем свойства скалярного произведения:

\[ = \mathbf{m} \cdot 2\mathbf{m} + \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} - \mathbf{n} \cdot 2\mathbf{m} - \mathbf{n} \cdot \mathbf{n} \] \[ = 2(\mathbf{m} \cdot \mathbf{m}) + \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} - 2(\mathbf{n} \cdot \mathbf{m}) - \mathbf{n} \cdot \mathbf{n} \]

Шаг 2: Использование свойств скалярного произведения

Воспользуемся тем, что \( \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = \mathbf{n} \cdot \mathbf{m} \):

\[ = 2|\mathbf{m}|^2 + \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} - 2(\mathbf{m} \cdot \mathbf{n}) - |\mathbf{n}|^2 \]

Соберем подобные члены:

\[ = 2|\mathbf{m}|^2 - \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} - |\mathbf{n}|^2 \]

Шаг 3: Подставим известные значения

Заданы:

• \( |\mathbf{m}| = 4 \)
• \( |\mathbf{n}| = 3 \)
• Угол между \( \mathbf{m} \) и \( \mathbf{n} \) равен \( 135^\circ \)

Сначала вычислим \( |\mathbf{m}|^2 \) и \( |\mathbf{n}|^2 \):

\[ |\mathbf{m}|^2 = 4^2 = 16 \] \[ |\mathbf{n}|^2 = 3^2 = 9 \]

Теперь необходимо найти скалярное произведение \( \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} \):

\[ \mathbf{m} \cdot \mathbf{n} = |\mathbf{m}| |\mathbf{n}| \cos(135^\circ) \] \[ = 4 \cdot 3 \cdot \cos(135^\circ) \] \[ \cos(135^\circ) = -\frac{1}{\sqrt{2}} \quad \text{(так как cos 135° - это -√2/2)} \] \[ = 4 \cdot 3 \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\frac{12}{\sqrt{2}} = -6\sqrt{2} \]

Подставляем все значения в формулу:

\[ = 2(16) - (-6\sqrt{2}) - 9 \] \[ = 32 + 6\sqrt{2} - 9 \] \[ = 23 + 6\sqrt{2} \]

Ответ

Скалярное произведение векторов \( \mathbf{m} - \mathbf{n} \) и \( 2\mathbf{m} + \mathbf{n} \) равно \( 23 + 6\sqrt{2} \).