Два дизайнера, работая совместно, выполнили заказ по художественному оформлению учебника алгебры за 64 часа. Если бы половину работы выполнил один из них, а затем оставшуюся…

Для решения этой задачи воспользуемся методом уравнений. Обозначим время, за которое каждый дизайнер сможет выполнить заказ самостоятельно, как \( t_1 \) (для первого дизайнера) и \( t_2 \) (для второго дизайнера).

1. Определим производительность каждого дизайнера.

   • Первый дизайнер может выполнить 1 книгу за \( t_1 \) часов, значит его производительность \( P_1 = \frac{1}{t_1} \) книг в час.
   • Второй дизайнер может выполнить 1 книгу за \( t_2 \) часов, значит его производительность \( P_2 = \frac{1}{t_2} \) книг в час.

2. Общее время работы вместе.

   • Когда оба дизайнера работают совместно, они завершили работу за 64 часа. Их общая производительность: \[ \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{64} \]

3. Время при выполнении работы по частям.

   • Если бы первый дизайнер выполнил половину работы, а второй — оставшуюся, то на выполнение каждой половины работы ушло бы следующее время:
     • Первая половина: \( \frac{1/2}{P_1} = \frac{t_1}{2} \)
     • Вторая половина: \( \frac{1/2}{P_2} = \frac{t_2}{2} \)
   • Общее время, затраченное на выполнение работы, составило 144 часа. Тогда мы имеем: \[ \frac{t_1}{2} + \frac{t_2}{2} = 144 \] Умножим все на 2: \[ t_1 + t_2 = 288 \]

4. Теперь мы имеем систему уравнений: \[ \begin{cases} \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{64} \\ t_1 + t_2 = 288 \end{cases} \]

5. Решим первую часть.

   • Из второго уравнения выразим \( t_2 \) через \( t_1 \): \[ t_2 = 288 - t_1 \]
   • Подставим это выражение во второе уравнение: \[ \frac{1}{t_1} + \frac{1}{288 - t_1} = \frac{1}{64} \]

6. Умножим все уравнение на \( 64 \cdot t_1 \cdot (288 - t_1) \) для удаления дробей: \[ 64(288 - t_1) + 64t_1 = t_1(288 - t_1) \] Упростим это уравнение: \[ 64 \cdot 288 = t_1(288 - t_1) \] \[ 18432 = 288t_1 - t_1^2 \] Перепишем в стандартной форме: \[ t_1^2 - 288t_1 + 18432 = 0 \]

7. Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

   • Дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 288^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18432 = 82944 - 73728 = 9216 \]
   • Корни уравнения: \[ t_1 = \frac{288 \pm \sqrt{9216}}{2} = \frac{288 \pm 96}{2} \] \[ t_1 = \frac{384}{2} = 192 \quad \text{или} \quad t_1 = \frac{192}{2} = 96 \]

8. Соответственно, значения для \( t_2 \):

   • Если \( t_1 = 192 \), то \( t_2 = 288 - 192 = 96 \).
   • Если \( t_1 = 96 \), то \( t_2 = 288 - 96 = 192 \).

В итоге, время, за которое каждый дизайнер может оформить учебник алгебры, составит:

• Первый дизайнер: 96 часов
• Второй дизайнер: 192 часа

Таким образом, окончательный ответ: первый дизайнер оформляет учебник за 96 часов, второй — за 192 часа.