Два дизайнера, работая совместно, выполнили заказ по художественному оформлению учебника алгебры за 64 часа. Если бы половину работы выполнил один из них, а затем оставшуюся половину другой, то работа была бы выполнена за 144 часа. За сколько часов мог бы оформить учебник алгебры каждый дизайнер, работая отдельно?

Для решения этой задачи воспользуемся методом уравнений. Обозначим время, за которое каждый дизайнер сможет выполнить заказ самостоятельно, как \( t_1 \) (для первого дизайнера) и \( t_2 \) (для второго дизайнера). 1. **Определим производительность каждого дизайнера.** - Первый дизайнер может выполнить 1 книгу за \( t_1 \) часов, значит его производительность \( P_1 = \frac{1}{t_1} \) книг в час. - Второй дизайнер может выполнить 1 книгу за \( t_2 \) часов, значит его производительность \( P_2 = \frac{1}{t_2} \) книг в час. 2. **Общее время работы вместе.** - Когда оба дизайнера работают совместно, они завершили работу за 64 часа. Их общая производительность: \[ \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{64} \] 3. **Время при выполнении работы по частям.** - Если бы первый дизайнер выполнил половину работы, а второй — оставшуюся, то на выполнение каждой половины работы ушло бы следующее время: - Первая половина: \( \frac{1/2}{P_1} = \frac{t_1}{2} \) - Вторая половина: \( \frac{1/2}{P_2} = \frac{t_2}{2} \) - Общее время, затраченное на выполнение работы, составило 144 часа. Тогда мы имеем: \[ \frac{t_1}{2} + \frac{t_2}{2} = 144 \] Умножим все на 2: \[ t_1 + t_2 = 288 \] 4. **Теперь мы имеем систему уравнений:** \[ \begin{cases} \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{64} \\ t_1 + t_2 = 288 \end{cases} \] 5. **Решим первую часть.** - Из второго уравнения выразим \( t_2 \) через \( t_1 \): \[ t_2 = 288 - t_1 \] - Подставим это выражение во второе уравнение: \[ \frac{1}{t_1} + \frac{1}{288 - t_1} = \frac{1}{64} \] 6. **Умножим все уравнение на \( 64 \cdot t_1 \cdot (288 - t_1) \) для удаления дробей:** \[ 64(288 - t_1) + 64t_1 = t_1(288 - t_1) \] Упростим это уравнение: \[ 64 \cdot 288 = t_1(288 - t_1) \] \[ 18432 = 288t_1 - t_1^2 \] Перепишем в стандартной форме: \[ t_1^2 - 288t_1 + 18432 = 0 \] 7. **Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:** - Дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 288^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18432 = 82944 - 73728 = 9216 \] - Корни уравнения: \[ t_1 = \frac{288 \pm \sqrt{9216}}{2} = \frac{288 \pm 96}{2} \] \[ t_1 = \frac{384}{2} = 192 \quad \text{или} \quad t_1 = \frac{192}{2} = 96 \] 8. **Соответственно, значения для \( t_2 \):** - Если \( t_1 = 192 \), то \( t_2 = 288 - 192 = 96 \). - Если \( t_1 = 96 \), то \( t_2 = 288 - 96 = 192 \). В итоге, время, за которое каждый дизайнер может оформить учебник алгебры, составит: - Первый дизайнер: 96 часов - Второй дизайнер: 192 часа Таким образом, окончательный ответ: первый дизайнер оформляет учебник за 96 часов, второй — за 192 часа.