Производная обратной функции

Производная обратной функции определяется с помощью теоремы о производной обратной функции. Если \( f \) — функция, которая является непрерывной и дифференцируемой на некотором интервале, и её производная \( f'(x) \) не равна нулю, то существует обратная функция \( f^{-1} \), и её производная может быть найдена по следующей формуле: \[ (f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(x)} \] где \( y = f(x) \). Таким образом, чтобы найти производную обратной функции в точке \( y \), нужно: 1. Найти \( x \), такое что \( y = f(x) \). 2. Вычислить \( f'(x) \). 3. Применить формулу \((f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(x)}\). Пример: Рассмотрим функцию \( f(x) = x^3 \). Найдем производную её обратной функции \( f^{-1}(y) \). 1. Находим \( x \) из уравнения \( y = x^3 \), то есть \( x = y^{1/3} \). 2. Вычисляем производную: \( f'(x) = 3x^2 \). 3. Подставляем в формулу: \((f^{-1})'(y) = \frac{1}{3x^2} = \frac{1}{3(y^{1/3})^2} = \frac{1}{3y^{2/3}}\). Таким образом, производная обратной функции \( f^{-1}(y) \) равна \( \frac{1}{3y^{2/3}} \).