Производная обратной функции

Производная обратной функции определяется с помощью теоремы о производной обратной функции. Если \( f \) — функция, которая является непрерывной и дифференцируемой на некотором интервале, и её производная \( f'(x) \) не равна нулю, то существует обратная функция \( f^{-1} \), и её производная может быть найдена по следующей формуле:

\[ (f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(x)} \]

где \( y = f(x) \).

Таким образом, чтобы найти производную обратной функции в точке \( y \), нужно:

1. Найти \( x \), такое что \( y = f(x) \).
2. Вычислить \( f'(x) \).
3. Применить формулу \((f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(x)}\).

Пример:

Рассмотрим функцию \( f(x) = x^3 \). Найдем производную её обратной функции \( f^{-1}(y) \).

1. Находим \( x \) из уравнения \( y = x^3 \), то есть \( x = y^{1/3} \).
2. Вычисляем производную: \( f'(x) = 3x^2 \).
3. Подставляем в формулу: \((f^{-1})'(y) = \frac{1}{3x^2} = \frac{1}{3(y^{1/3})^2} = \frac{1}{3y^{2/3}}\).

Таким образом, производная обратной функции \( f^{-1}(y) \) равна \( \frac{1}{3y^{2/3}} \).