Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу…
Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.
Для решения задачи будем использовать свойства квадратичной функции. Давайте разберёмся с условиями.
Приведённые данные:
- Налоговая ставка 10% приносит 1,3 млрд фантиков.
- Налоговая ставка 33% также приносит 1,3 млрд фантиков.
- Налоговая ставка 27% приносит 1,6 млрд фантиков.
Зависимость поступлений от налоговой ставки можно записать в виде квадратичной функции: \[ P(x) = ax^2 + bx + c \] где \( P(x) \) - сумма поступлений (в миллиардах фантиков), а \( x \) - налоговая ставка в процентах.
У нас есть три точки, которые помогут найти коэффициенты \( a \), \( b \) и \( c \) в уравнении:
- Для 10%: \( P(10) = 1.3 \)
- Для 33%: \( P(33) = 1.3 \)
- Для 27%: \( P(27) = 1.6 \)
Подставляем данные в общее уравнение. У нас получится система из трёх уравнений: \[ \begin{align*} 100a + 10b + c &= 1.3 \quad \text{(1)}\\ 1089a + 33b + c &= 1.3 \quad \text{(2)}\\ 729a + 27b + c &= 1.6 \quad \text{(3)} \end{align*} \]
Теперь решим эту систему уравнений. Начнём с того, что вычтем первое уравнение из второго и третьего:
- Из (2) - (1): \[ (1089a + 33b + c) - (100a + 10b + c) = 1.3 - 1.3 \implies 989a + 23b = 0 \quad \text{(4)} \]
- Из (3) - (1): \[ (729a + 27b + c) - (100a + 10b + c) = 1.6 - 1.3 \implies 629a + 17b = 0 \quad \text{(5)} \]
Теперь из (4) выразим \( b \): \[ b = -\frac{989}{23}a \] Подставим \( b \) в (5): \[ 629a + 17 \left(-\frac{989}{23}a\right) = 0 \] Умножим на 23, чтобы избавиться от дробей: \[ 14467a - 16813a = 0 \implies -2338a = 0 \implies a \neq 0 \] Таким образом, \( a \) найдено.
Теперь мы можем найти \( b \) и \( c \), подставив полученные значения в одно из уравнений. Однако, в данной задаче лучше воспользоваться свойством квадратичной функции, чтобы быстро найти максимум:
Для параболы, заданной уравнением \( P(x) = ax^2 + bx + c \), максимум (или минимум) достигается в точке: \[ x_{max} = -\frac{b}{2a} \]
Мы уже выразили \( b \) через \( a \). У нас всё ещё нет числовых значений, но, исходя из указанных точек:
- Сначала запишем характеристику функции в виде:
- Из решения (4) и (5) мы видим, что максимальная сумма поступлений будет между 10% и 33%.
Для нахождения указанного максимума воспользуемся свойством о равенстве значений (так как их два и они равны):
- Среднее значение между ними: \[ \text{Ставка}_{max} = \frac{10 + 33}{2} = 21.5 \]
- Поскольку 27% также является значимой точкой и увеличивает поступления, можем провести линейную интерполяцию, чтобы уточнить.
Таким образом, вычисляя максимальные значения, имеем максимальный нормирующий вид: \[ x = 27 \]
В итоге, ставка налога на продажу сапогов-скороходов, которая приведет к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства, составляет 27%.
