Для решения задачи о адиабатном расширении одноатомного идеального газа воспользуемся термодинамическими уравнениями и формулами.
Шаг 1: Понимание задачи
Задача подразумевает, что один моль одноатомного идеального газа расширяется адиабатно. Это означает, что в процессе не происходит теплообмена с окружающей средой.
Шаг 2: Дано
- Количество газа, ( n = 1 , \text{моль} )
- Работа, совершенная газом, ( W = 2245 , \text{Дж} )
- Конечная температура газа в два раза меньше начальной: ( T_2 = \frac{T_1}{2} )
Шаг 3: Уравнение состояния идеального газа
Для одноатомного идеального газа работает уравнение:
[
W = \frac{n}{\gamma - 1} (T_1 - T_2)
]
где:
- ( \gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{5}{3} ) для одноатомного газа (C_p — теплоемкость при постоянном давлении, C_v — теплоемкость при постоянном объеме).
Шаг 4: Подставляем известные значения
Подставим известные значения в уравнение, используя ( \gamma = \frac{5}{3} ):
[
W = \frac{1}{\frac{5}{3} - 1} (T_1 - T_2)
]
Решаем выражение для (\frac{n}{\gamma - 1}):
[
\frac{1}{\frac{5}{3} - 1} = \frac{3}{2}
]
Теперь подставим это значение в уравнение:
[
2245 = \frac{3}{2} (T_1 - T_2)
]
Поскольку ( T_2 = \frac{T_1}{2} ), подставим это:
[
2245 = \frac{3}{2} \left( T_1 - \frac{T_1}{2} \right)
]
[
2245 = \frac{3}{2} \left( \frac{T_1}{2} \right) = \frac{3T_1}{4}
]
Шаг 5: Решаем уравнение относительно ( T_1 )
Умножим обе стороны на 4:
[
4 \times 2245 = 3T_1
]
[
8980 = 3T_1
]
Теперь делим обе стороны на 3:
[
T_1 = \frac{8980}{3} \approx 2993.33 \text{K}
]
Ответ
Начальная температура газа:
[
T_1 \approx 2993.33 , \text{K}
]
Заключение
Мы нашли начальную температуру одноатомного идеального газа, используя уравнения термодинамики и свойства адиабатного процесса. Если есть дополнительные вопросы или нужно пояснить определенные этапы, не стесняйтесь задавать их!
