Точку ( 4 ; 4корень 3 ) A(4;4 3 ) повернули вокруг начала координат по часовой стрелке и получили точку 1 ( 8 ; 0 ) A 1 (8;0) . Найди угол поворота в градусах.
Для того чтобы найти угол поворота точки \( A(4; 4\sqrt{3}) \) вокруг начала координат, который приводит к точке \( A_1(8; 0) \), воспользуемся формулами для вращения точки в координатной плоскости.
Шаг 1: Определение начальной и конечной точки
- Начальная точка: \( A(4; 4\sqrt{3}) \)
- Конечная точка: \( A_1(8; 0) \)
Шаг 2: Найдем радиусы данной точки
Рассмотрим радиусы, описанные полярными координатами.
Для точки \( A(4; 4\sqrt{3}) \), её радиус \( r_A \) и угол \( \theta_A \):
- Радиус: \[ r_A = \sqrt{4^2 + (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 + 48} = \sqrt{64} = 8 \]
- Угол \( \theta_A \): \[ \theta_A = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{4\sqrt{3}}{4}\right) = \tan^{-1}(\sqrt{3}) \] Значение \( \tan(\theta) = \sqrt{3} \) соответствует углу \( 60^\circ \), то есть: \[ \theta_A = 60^\circ \]
Для точки \( A_1(8; 0) \):
- Радус: \[ r_{A_1} = \sqrt{8^2 + 0^2} = 8 \]
- Угол \( \theta_{A_1} \): \[ \theta_{A_1} = \tan^{-1}\left(\frac{0}{8}\right) = \tan^{-1}(0) = 0^\circ \]
Шаг 3: Найдем угол поворота
Теперь находим угол поворота \( \varphi \):
- Угол поворота можно определить как разницу между конечным и начальным углом: \[ \varphi = \theta_{A_1} - \theta_A = 0^\circ - 60^\circ = -60^\circ \]
Однако, поскольку мы рассматриваем поворот по часовой стрелке, нам нужно взять положительное значение угла в диапазоне от \( 0^\circ \) до \( 360^\circ \). Угол можно также выразить как: \[ \varphi = 360^\circ - 60^\circ = 300^\circ \]
Ответ
Таким образом, угол поворота, при котором точка \( A(4; 4\sqrt{3}) \) поворачивается в точку \( A_1(8; 0) \), составляет \( 300^\circ \).
