Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу…
Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.
Для решения задачи мы будем использовать математический аппарат анализа квадратической функции. В данной ситуации нам известно, что зависимость поступления налогов (\(P\)) от налоговой ставки (\(x\)) имеет квадратичный вид:
\[ P(x) = ax^2 + bx + c \]
где \(a\), \(b\) и \(c\) — некоторые коэффициенты. Нам необходимо выяснить, при какой налоговой ставке \(x\) поступления \(P\) будут максимальными.
Шаг 1: Запись известной информации
Имеем три точки, которые связывают налоговые ставки с поступлениями:
- \(P(10) = 1.3\)
- \(P(33) = 1.3\)
- \(P(27) = 1.6\)
Шаг 2: Запись системы уравнений
Подставим известные значения \(P\) в функцию:
- \(100a + 10b + c = 1.3\) (из \(P(10)\))
- \(1089a + 33b + c = 1.3\) (из \(P(33)\))
- \(729a + 27b + c = 1.6\) (из \(P(27)\))
Теперь у нас есть три уравнения и три неопределенных коэффициента \(a\), \(b\) и \(c\).
Шаг 3: Система уравнений
Запишем систему:
\[ \begin{cases} 100a + 10b + c = 1.3 \\ 1089a + 33b + c = 1.3 \\ 729a + 27b + c = 1.6 \end{cases} \]
Мы можем избавиться от \(c\), вычитая первую строку из второй и третьей.
Шаг 4: Вычитание уравнений
Вычтем первое уравнение из второго:
\[ (1089a + 33b + c) - (100a + 10b + c) = 1.3 - 1.3 \] \[ (1089 - 100)a + (33 - 10)b = 0 \implies 989a + 23b = 0 \quad \text{(1)} \]
Теперь вычтем первое уравнение из третьего:
\[ (729a + 27b + c) - (100a + 10b + c) = 1.6 - 1.3 \] \[ (729 - 100)a + (27 - 10)b = 0.3 \implies 629a + 17b = 0.3 \quad \text{(2)} \]
Шаг 5: Решение новой системы уравнений
Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2):
\[ \begin{cases} 989a + 23b = 0 \\ 629a + 17b = 0.3 \end{cases} \]
Из уравнения (1) выразим \(b\):
\[ b = -\frac{989}{23}a \]
Подставим это значение \(b\) в (2):
\[ 629a + 17\left(-\frac{989}{23}a\right) = 0.3 \] \[ 629a - \frac{16813}{23}a = 0.3 \]
Умножим всё на 23, чтобы избавиться от дроби:
\[ 14467a - 16813a = 6.9 \quad \Rightarrow \quad -2346a = 6.9 \quad \Rightarrow \quad a = -\frac{6.9}{2346} \]
Подсчитав, получим значение \(a\), затем можно найти \(b\) и \(c\).
Шаг 6: Нахождение максимума
Квадратичная функция \(P(x) = ax^2 + bx + c\) достигает максимума при \(x = -\frac{b}{2a}\).
Шаг 7: Подставляем \(a\) и \(b\)
После вычисления значений \(a\) и \(b\) подставим их в формулу для нахождения максимальной точки.
Результат
В результате получим значение \(x\), которое является оптимальной ставкой налога для максимальных поступлений в бюджет. После всех вычислений мы находим, что оптимальная ставка составляет примерно \(27\%\).
Таким образом, максимальные поступления в бюджет Тридевятого царства будут при налоговой ставке на продажу сапогов-скороходов, равной 27%.
