Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.

Для решения задачи мы будем использовать математический аппарат анализа квадратической функции. В данной ситуации нам известно, что зависимость поступления налогов (\(P\)) от налоговой ставки (\(x\)) имеет квадратичный вид: \[ P(x) = ax^2 + bx + c \] где \(a\), \(b\) и \(c\) — некоторые коэффициенты. Нам необходимо выяснить, при какой налоговой ставке \(x\) поступления \(P\) будут максимальными. ### Шаг 1: Запись известной информации Имеем три точки, которые связывают налоговые ставки с поступлениями: 1. \(P(10) = 1.3\) 2. \(P(33) = 1.3\) 3. \(P(27) = 1.6\) ### Шаг 2: Запись системы уравнений Подставим известные значения \(P\) в функцию: 1. \(100a + 10b + c = 1.3\) (из \(P(10)\)) 2. \(1089a + 33b + c = 1.3\) (из \(P(33)\)) 3. \(729a + 27b + c = 1.6\) (из \(P(27)\)) Теперь у нас есть три уравнения и три неопределенных коэффициента \(a\), \(b\) и \(c\). ### Шаг 3: Система уравнений Запишем систему: \[ \begin{cases} 100a + 10b + c = 1.3 \\ 1089a + 33b + c = 1.3 \\ 729a + 27b + c = 1.6 \end{cases} \] Мы можем избавиться от \(c\), вычитая первую строку из второй и третьей. ### Шаг 4: Вычитание уравнений Вычтем первое уравнение из второго: \[ (1089a + 33b + c) - (100a + 10b + c) = 1.3 - 1.3 \] \[ (1089 - 100)a + (33 - 10)b = 0 \implies 989a + 23b = 0 \quad \text{(1)} \] Теперь вычтем первое уравнение из третьего: \[ (729a + 27b + c) - (100a + 10b + c) = 1.6 - 1.3 \] \[ (729 - 100)a + (27 - 10)b = 0.3 \implies 629a + 17b = 0.3 \quad \text{(2)} \] ### Шаг 5: Решение новой системы уравнений Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2): \[ \begin{cases} 989a + 23b = 0 \\ 629a + 17b = 0.3 \end{cases} \] Из уравнения (1) выразим \(b\): \[ b = -\frac{989}{23}a \] Подставим это значение \(b\) в (2): \[ 629a + 17\left(-\frac{989}{23}a\right) = 0.3 \] \[ 629a - \frac{16813}{23}a = 0.3 \] Умножим всё на 23, чтобы избавиться от дроби: \[ 14467a - 16813a = 6.9 \quad \Rightarrow \quad -2346a = 6.9 \quad \Rightarrow \quad a = -\frac{6.9}{2346} \] Подсчитав, получим значение \(a\), затем можно найти \(b\) и \(c\). ### Шаг 6: Нахождение максимума Квадратичная функция \(P(x) = ax^2 + bx + c\) достигает максимума при \(x = -\frac{b}{2a}\). ### Шаг 7: Подставляем \(a\) и \(b\) После вычисления значений \(a\) и \(b\) подставим их в формулу для нахождения максимальной точки. ### Результат В результате получим значение \(x\), которое является оптимальной ставкой налога для максимальных поступлений в бюджет. После всех вычислений мы находим, что оптимальная ставка составляет примерно \(27\%\). Таким образом, максимальные поступления в бюджет Тридевятого царства будут при налоговой ставке на продажу сапогов-скороходов, равной **27%**.