|5x-4|-|6x-9|=1

Для решения данной задачи, начнем с разбора уравнения:

\[ |5x - 4| - |6x - 9| = 1 \]

Шаг 1: Определим области

Сначала нам нужно определить, где выражения внутри модулей меняют знак. Это происходит, когда:

1. \(5x - 4 = 0\) ⟹ \(x = \frac{4}{5}\)
2. \(6x - 9 = 0\) ⟹ \(x = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}\)

Таким образом, у нас есть точки изменения знака: \(x = \frac{4}{5}\) и \(x = \frac{3}{2}\). Эти точки разделяют ось x на три интервала:

1. \(x < \frac{4}{5}\)
2. \(\frac{4}{5} \leq x < \frac{3}{2}\)
3. \(x \geq \frac{3}{2}\)

Шаг 2: Разберем все случаи

Случай 1: \(x < \frac{4}{5}\)

Здесь оба выражения внутри модулей отрицательны: \[ |5x - 4| = -(5x - 4) = 4 - 5x \] \[ |6x - 9| = -(6x - 9) = 9 - 6x \] Подставляем в уравнение: \[ (4 - 5x) - (9 - 6x) = 1 \] Упрощаем: \[ 4 - 5x - 9 + 6x = 1 \] \[ x - 5 = 1 \] \[ x = 6 \] Поскольку \(x = 6\) не принадлежит интервалу \(x < \frac{4}{5}\), решения в этом случае нет.

Случай 2: \(\frac{4}{5} \leq x < \frac{3}{2}\)

В этом интервале: \[ |5x - 4| = 5x - 4 \] \[ |6x - 9| = 9 - 6x \] Подставляем: \[ (5x - 4) - (9 - 6x) = 1 \] Упрощаем: \[ 5x - 4 - 9 + 6x = 1 \] \[ 11x - 13 = 1 \] \[ 11x = 14 \] \[ x = \frac{14}{11} \] Проверяем, что \(\frac{14}{11} \approx 1.27\) лежит в пределах \(\frac{4}{5} \approx 0.8\) и \(\frac{3}{2} \approx 1.5\). Значит, это решение подходит.

Случай 3: \(x \geq \frac{3}{2}\)

Здесь оба выражения положительны: \[ |5x - 4| = 5x - 4 \] \[ |6x - 9| = 6x - 9 \] Подставляем: \[ (5x - 4) - (6x - 9) = 1 \] Упрощаем: \[ 5x - 4 - 6x + 9 = 1 \] \[ -x + 5 = 1 \] \[ -x = -4 \] \[ x = 4 \] Проверяем, что \(x = 4\) действительно больше или равно \(\frac{3}{2}\). Значит, это решение подходит.

Итоговые решения

Мы нашли два решения уравнения:

1. \(x = \frac{14}{11}\)
2. \(x = 4\)

Таким образом, ответ: \[ x = \frac{14}{11} \quad \text{и} \quad x = 4 \]