Давайте решим предложенные задачи одну за другой, пошагово объясняя каждое решение.
Задача 2
Кубик бросают 8 раз. Успех — выпадет 5 очков. Какова вероятность, что 5 выпадет ровно 3 раза?
Это задача о биномиальном распределении, где:
- n = 8 (общее количество бросков),
- k = 3 (количество успехов, т.е., выпадение числа 5),
- p — вероятность успеха (выпадение 5).
На стандартном кубике с числами от 1 до 6, есть 1 благоприятный исход (5) из 6 возможных. Следовательно, вероятность успеха:
[ p = \frac{1}{6} ]
Вероятность неуспеха:
[ q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} ]
Теперь используем формулу биномиального распределения:
[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{(n-k)} ]
где ( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} ) — биномиальный коэффициент.
Находим биномиальный коэффициент ( C(8, 3) ):
[
C(8, 3) = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56
]
Подставляем значения в формулу:
[
P(X = 3) = 56 \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^3 \cdot \left( \frac{5}{6} \right)^{5}
]
Теперь вычислим:
[
P(X = 3) = 56 \cdot \frac{1}{216} \cdot \left( \frac{3125}{7776} \right)
= 56 \cdot \frac{3125}{16632}
]
После вычислений получим вероятность ( P(X = 3) ).
Задача 3
Вероятность успеха p = 0.4. Испытание проводится 5 раз. Найдите вероятность того, что:
А) Успех произойдет ровно 3 раза:
Используем ту же формулу биномиального распределения:
- n = 5,
- k = 3,
- p = 0.4,
- q = 1 - 0.4 = 0.6.
Находим ( C(5, 3) ):
[
C(5, 3) = \frac{5!}{3!2!} = 10
]
Подставляем в формулу:
[
P(X = 3) = 10 \cdot (0.4)^3 \cdot (0.6)^{2}
]
Вычисления:
[
P(X = 3) = 10 \cdot 0.064 \cdot 0.36
= 10 \cdot 0.02304 = 0.2304
]
Б) Успех произойдет хотя бы один раз:
Вместо расчета вероятности успеха, найдем вероятность того, что успех не произойдет ни разу и вычтем это из 1.
Вероятность отсутствия успеха (0 успехов):
[
P(X = 0) = C(5, 0) \cdot (0.4)^0 \cdot (0.6)^5 = 1 \cdot 1 \cdot 0.07776 = 0.07776
]
Тогда вероятность хотя бы одного успеха:
[
P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0.07776 = 0.92224
]
Задача 4
Вероятность успеха в каждом испытании равна p = 0.6. Найдите вероятность того, что первый успех наступит:
А) На первом испытании:
Это просто p:
[
P(X = 1) = 0.6
]
Б) На 3 испытании:
Первый успех произойдет на третьем испытании, если два первых испытания будут неуспехами (вероятность 0.4):
- Вероятность двух неудач и одной удачи в третьем испытании:
[
P(X = 3) = (0.4)^2 \cdot (0.6) = 0.16 \cdot 0.6 = 0.096
]
Таким образом, мы можем подвести итоги:
- Вероятность успеха на первом испытании: 0.6.
- Вероятность успеха на третьем испытании: 0.096.
Если есть вопросы по каким-либо шагам, не стесняйтесь спрашивать!
