В полном графе количество ребер 21. Сколько в нем вершин?
Для решения этой задачи начнем с использования формулы, которая связывает количество вершин (V) и количество ребер (E) в полном графе. В полном графе каждый узел соединен с каждым другим узлом, и количество ребер можно выразить так:
\[ E = \frac{V(V - 1)}{2} \]
где:
- \(E\) — количество ребер,
- \(V\) — количество вершин.
В условии задачи дано, что количество ребер \(E = 21\). Теперь подставим это значение в формулу:
\[ 21 = \frac{V(V - 1)}{2} \]
Умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:
\[ 42 = V(V - 1) \]
Теперь получим квадратное уравнение:
\[ V^2 - V - 42 = 0 \]
Решим его с помощью дискриминанта. Дискриминант \(D\) вычисляется по формуле:
\[ D = b^2 - 4ac \]
где \(a = 1\), \(b = -1\) и \(c = -42\). Подставим значения:
\[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169 \]
Теперь найдем корни уравнения по формуле:
\[ V = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставляем значения:
\[ V = \frac{-(-1) \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 13}{2} \]
Теперь вычислим два возможных значения для \(V\):
- \( V_1 = \frac{1 + 13}{2} = \frac{14}{2} = 7 \)
- \( V_2 = \frac{1 - 13}{2} = \frac{-12}{2} = -6 \) (это значение не подходит, так как количество вершин не может быть отрицательным).
Таким образом, количество вершин в полном графе оказывается равным:
\[ V = 7 \]
Ответ: В полном графе с 21 ребром всего 7 вершин.
