Для решения этой задачи начнем с использования формулы, которая связывает количество вершин (V) и количество ребер (E) в полном графе. В полном графе каждый узел соединен с каждым другим узлом, и количество ребер можно выразить так:
[
E = \frac{V(V - 1)}{2}
]
где:
- (E) — количество ребер,
- (V) — количество вершин.
В условии задачи дано, что количество ребер (E = 21). Теперь подставим это значение в формулу:
[
21 = \frac{V(V - 1)}{2}
]
Умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:
[
42 = V(V - 1)
]
Теперь получим квадратное уравнение:
[
V^2 - V - 42 = 0
]
Решим его с помощью дискриминанта. Дискриминант (D) вычисляется по формуле:
[
D = b^2 - 4ac
]
где (a = 1), (b = -1) и (c = -42). Подставим значения:
[
D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169
]
Теперь найдем корни уравнения по формуле:
[
V = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
]
Подставляем значения:
[
V = \frac{-(-1) \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 13}{2}
]
Теперь вычислим два возможных значения для (V):
- ( V_1 = \frac{1 + 13}{2} = \frac{14}{2} = 7 )
- ( V_2 = \frac{1 - 13}{2} = \frac{-12}{2} = -6 ) (это значение не подходит, так как количество вершин не может быть отрицательным).
Таким образом, количество вершин в полном графе оказывается равным:
[
V = 7
]
Ответ: В полном графе с 21 ребром всего 7 вершин.
