найти выделенную площадь y=1/2 x²+x+1/2 x(1;2;3) y=-x степень -2 + 2x+1 x(0;1;2)
Для начала, давайте разберем задачу и найдем выделенную площадь между двумя функциями:
- \( y = \frac{1}{2}x^2 + x + \frac{1}{2} \) с заданными значениями \( x = 1, 2, 3 \)
- \( y = -x^2 + 2x + 1 \) с заданными значениями \( x = 0, 1, 2 \)
Шаг 1: Найдем точки пересечения функций
Чтобы найти выделенную площадь, сначала необходимо определить, где функции пересекаются. Для этого приравняем их к друг другу:
\[ \frac{1}{2}x^2 + x + \frac{1}{2} = -x^2 + 2x + 1 \]
Упростим уравнение:
\[ \frac{1}{2}x^2 + x + \frac{1}{2} + x^2 - 2x - 1 = 0 \]
Объединим все члены:
\[ \frac{3}{2}x^2 - x - \frac{1}{2} = 0 \]
Умножим на 2, чтобы избавиться от дробей:
\[ 3x^2 - 2x - 1 = 0 \]
Шаг 2: Решим квадратное уравнение
Используем формулу дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 \]
Теперь найдем корни:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm 4}{6} \]
\[ x_1 = 1, \quad x_2 = -\frac{1}{3} \]
Поскольку мы работаем с положительными значениями \( x \), мы возьмем только \( x = 1 \).
Шаг 3: Найдем элементы площади
Нам нужно найти значение функций в \( x = 1 \), \( x = 2 \), и \( x = 3 \), чтобы определить границы интегрирования.
При \( x = 1 \):
- \( y_1 = \frac{1}{2}(1)^2 + (1) + \frac{1}{2} = 2 \)
- \( y_2 = -(1)^2 + 2(1) + 1 = 2 \)
При \( x = 2 \):
- \( y_1 = \frac{1}{2}(2)^2 + (2) + \frac{1}{2} = 4.5 \)
- \( y_2 = -(2)^2 + 2(2) + 1 = 1 \)
При \( x = 3 \):
- \( y_1 = \frac{1}{2}(3)^2 + (3) + \frac{1}{2} = 8.5 \)
- \( y_2 = -(3)^2 + 2(3) + 1 = -2 \)
Шаг 4: Зафиксируем интервал интегрирования
Мы видим, что функции пересекаются в \( x = 1 \) и \( x = 3 \). Мы можем вычислить площадь между графиками функций от \( x = 1 \) до \( x = 3 \).
Шаг 5: Вычислим площадь
Площадь \( A \) между этими кривыми можно найти с помощью интеграла:
\[ A = \int_{1}^{3} \left( y_1 - y_2 \right) dx \] где \( y_1 = \frac{1}{2}x^2 + x + \frac{1}{2} \) и \( y_2 = -x^2 + 2x + 1 \).
Подставляем функции:
\[ A = \int_{1}^{3} \left(\left(\frac{1}{2}x^2 + x + \frac{1}{2}\right) - \left(-x^2 + 2x + 1\right)\right) dx \]
Упростим:
\[ A = \int_{1}^{3} \left(\frac{3}{2}x^2 - x - \frac{1}{2}\right) dx \]
Шаг 6: Найдем интеграл
Посчитаем интеграл:
\[ \int \left(\frac{3}{2}x^2 - x - \frac{1}{2}\right) dx = \frac{3}{6}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x \]
Итак, вычислим его в пределах от 1 до 3:
\[ A = \left[\frac{1}{2}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x\right]_{1}^{3} \]
Теперь подставим значения:
\[ A = \left(\frac{1}{2}(3^3) - \frac{1}{2}(3^2) - \frac{1}{2}(3)\right) - \left(\frac{1}{2}(1^3) - \frac{1}{2}(1^2) - \frac{1}{2}(1)\right) \]
Это дает нам:
\[ = \left(\frac{27}{2} - \frac{9}{2} - \frac{3}{2}\right) - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\right) \]
Упрощаем:
\[ = \frac{27 - 9 - 3}{2} + \frac{1}{2} = \frac{15}{2} + 0 = \frac{15}{2} \]
Вывод:
Итак, выделенная площадь между графиками функций на интервале от \( x=1 \) до \( x=3 \) равна \( \frac{15}{2} \) (или 7.5 квадратных единиц).
