Найти выделенную площадь y=1/2 x²+x+1/2 x(1;2;3) y=-x степень -2 + 2x+1 x(0;1;2)

Для начала, давайте разберем задачу и найдем выделенную площадь между двумя функциями: 1. \( y = \frac{1}{2}x^2 + x + \frac{1}{2} \) с заданными значениями \( x = 1, 2, 3 \) 2. \( y = -x^2 + 2x + 1 \) с заданными значениями \( x = 0, 1, 2 \) ### Шаг 1: Найдем точки пересечения функций Чтобы найти выделенную площадь, сначала необходимо определить, где функции пересекаются. Для этого приравняем их к друг другу: \[ \frac{1}{2}x^2 + x + \frac{1}{2} = -x^2 + 2x + 1 \] Упростим уравнение: \[ \frac{1}{2}x^2 + x + \frac{1}{2} + x^2 - 2x - 1 = 0 \] Объединим все члены: \[ \frac{3}{2}x^2 - x - \frac{1}{2} = 0 \] Умножим на 2, чтобы избавиться от дробей: \[ 3x^2 - 2x - 1 = 0 \] ### Шаг 2: Решим квадратное уравнение Используем формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 \] Теперь найдем корни: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm 4}{6} \] \[ x_1 = 1, \quad x_2 = -\frac{1}{3} \] Поскольку мы работаем с положительными значениями \( x \), мы возьмем только \( x = 1 \). ### Шаг 3: Найдем элементы площади Нам нужно найти значение функций в \( x = 1 \), \( x = 2 \), и \( x = 3 \), чтобы определить границы интегрирования. 1. **При \( x = 1 \)**: - \( y_1 = \frac{1}{2}(1)^2 + (1) + \frac{1}{2} = 2 \) - \( y_2 = -(1)^2 + 2(1) + 1 = 2 \) 2. **При \( x = 2 \)**: - \( y_1 = \frac{1}{2}(2)^2 + (2) + \frac{1}{2} = 4.5 \) - \( y_2 = -(2)^2 + 2(2) + 1 = 1 \) 3. **При \( x = 3 \)**: - \( y_1 = \frac{1}{2}(3)^2 + (3) + \frac{1}{2} = 8.5 \) - \( y_2 = -(3)^2 + 2(3) + 1 = -2 \) ### Шаг 4: Зафиксируем интервал интегрирования Мы видим, что функции пересекаются в \( x = 1 \) и \( x = 3 \). Мы можем вычислить площадь между графиками функций от \( x = 1 \) до \( x = 3 \). ### Шаг 5: Вычислим площадь Площадь \( A \) между этими кривыми можно найти с помощью интеграла: \[ A = \int_{1}^{3} \left( y_1 - y_2 \right) dx \] где \( y_1 = \frac{1}{2}x^2 + x + \frac{1}{2} \) и \( y_2 = -x^2 + 2x + 1 \). Подставляем функции: \[ A = \int_{1}^{3} \left(\left(\frac{1}{2}x^2 + x + \frac{1}{2}\right) - \left(-x^2 + 2x + 1\right)\right) dx \] Упростим: \[ A = \int_{1}^{3} \left(\frac{3}{2}x^2 - x - \frac{1}{2}\right) dx \] ### Шаг 6: Найдем интеграл Посчитаем интеграл: \[ \int \left(\frac{3}{2}x^2 - x - \frac{1}{2}\right) dx = \frac{3}{6}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x \] Итак, вычислим его в пределах от 1 до 3: \[ A = \left[\frac{1}{2}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x\right]_{1}^{3} \] **Теперь подставим значения:** \[ A = \left(\frac{1}{2}(3^3) - \frac{1}{2}(3^2) - \frac{1}{2}(3)\right) - \left(\frac{1}{2}(1^3) - \frac{1}{2}(1^2) - \frac{1}{2}(1)\right) \] Это дает нам: \[ = \left(\frac{27}{2} - \frac{9}{2} - \frac{3}{2}\right) - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\right) \] Упрощаем: \[ = \frac{27 - 9 - 3}{2} + \frac{1}{2} = \frac{15}{2} + 0 = \frac{15}{2} \] **Вывод:** Итак, выделенная площадь между графиками функций на интервале от \( x=1 \) до \( x=3 \) равна \( \frac{15}{2} \) (или 7.5 квадратных единиц).