Игральную кость бросили два раза. Какие пары событий являются независимыми? Выбери верные варианты ответа. Событие  A A: «при первом броске выпадет  2 2 очка» и событие  B B: «при втором броске выпадет больше  2 2 очков» Событие  A A: «при первом броске выпадет больше  2 2 очков» и событие  B B: «сумма выпавших очков равна  6 6» Событие  A A: «при первом броске выпадет  1 1 очко» и событие  B B: «хотя бы раз выпадет  3 3 очка» Событие  A A: «при первом броске выпадет чётное количество очков» и событие  B B: «при втором броске выпадет меньше  4 4 очков»

Для понимания независимости событий в теории вероятностей полезно знать, что два события A и B независимы, если вероятность их совместного наступления равна произведению их вероятностей: \[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \] Теперь давайте проанализируем каждую из предложенных пар событий. ### 1. Событие A: «при первом броске выпадет 2 очка» и событие B: «при втором броске выпадет больше 2 очков» - Вероятность A: \( P(A) = \frac{1}{6} \) (только один способ — выпасть 2). - Вероятность B: \( P(B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \) (выпадение 3, 4, 5 или 6). - Событие A не влияет на события при втором броске, следовательно, вероятность их совместного наступления: \[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{6} \cdot \frac{4}{6} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9} \] Оба события независимы. ### 2. Событие A: «при первом броске выпадет больше 2 очков» и событие B: «сумма выпавших очков равна 6» - Вероятность A: \( P(A) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \) (может выпасть 3, 4, 5 или 6). - Событие B зависит от результатов первого и второго бросков. Например, если первый бросок равен 5, второй должен быть 1, чтобы сумма была 6. - Вероятность совместного наступления будет включать условия, зависящие от обоих бросков. Следовательно, они не являются независимыми. ### 3. Событие A: «при первом броске выпадет 1 очко» и событие B: «хотя бы раз выпадет 3 очка» - Вероятность A: \( P(A) = \frac{1}{6} \). - Событие B: выпадение 3 какого-либо из двух бросков. Событие B может произойти независимо от того, выпало ли 1 в первом броске или нет. - Вероятность B не зависит от A, следовательно: \[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \] Оба события независимы. ### 4. Событие A: «при первом броске выпадет чётное количество очков» и событие B: «при втором броске выпадет меньше 4 очков» - Вероятность A: \( P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \) (выпадение 2, 4 или 6). - Вероятность B: \( P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \) (выпадение 1, 2 или 3). - Первое событие (чётное количество очков) не влияет на вероятность выпадения второго (что меньше 4). Следовательно: \[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \] Оба события независимы. ### Итог Таким образом, события, которые являются независимыми: - Пара (A: «при первом броске выпадет 2 очка» и B: «при втором броске выпадет больше 2 очков») - Пара (A: «при первом броске выпадет 1 очко» и B: «хотя бы раз выпадет 3 очка») - Пара (A: «при первом броске выпадет чётное количество очков» и B: «при втором броске выпадет меньше 4 очков») События из второй пары не являются независимыми. Таким образом, верные варианты ответов — первая, третья и четвёртая пары событий.