Игральную кость бросили два раза. Какие пары событий являются независимыми? Выбери верные варианты ответа. Событие A A : «при первом броске выпадет 2 2 очка» и событие B B : «при…

Для понимания независимости событий в теории вероятностей полезно знать, что два события A и B независимы, если вероятность их совместного наступления равна произведению их вероятностей:

\[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \]

Теперь давайте проанализируем каждую из предложенных пар событий.

1. Событие A: «при первом броске выпадет 2 очка» и событие B: «при втором броске выпадет больше 2 очков»

• Вероятность A: \( P(A) = \frac{1}{6} \) (только один способ — выпасть 2).
• Вероятность B: \( P(B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \) (выпадение 3, 4, 5 или 6).
• Событие A не влияет на события при втором броске, следовательно, вероятность их совместного наступления:

\[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{6} \cdot \frac{4}{6} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9} \]

Оба события независимы.

2. Событие A: «при первом броске выпадет больше 2 очков» и событие B: «сумма выпавших очков равна 6»

• Вероятность A: \( P(A) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \) (может выпасть 3, 4, 5 или 6).
• Событие B зависит от результатов первого и второго бросков. Например, если первый бросок равен 5, второй должен быть 1, чтобы сумма была 6.
• Вероятность совместного наступления будет включать условия, зависящие от обоих бросков. Следовательно, они не являются независимыми.

3. Событие A: «при первом броске выпадет 1 очко» и событие B: «хотя бы раз выпадет 3 очка»

• Вероятность A: \( P(A) = \frac{1}{6} \).
• Событие B: выпадение 3 какого-либо из двух бросков. Событие B может произойти независимо от того, выпало ли 1 в первом броске или нет.
• Вероятность B не зависит от A, следовательно:

\[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \]

Оба события независимы.

4. Событие A: «при первом броске выпадет чётное количество очков» и событие B: «при втором броске выпадет меньше 4 очков»

• Вероятность A: \( P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \) (выпадение 2, 4 или 6).
• Вероятность B: \( P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \) (выпадение 1, 2 или 3).
• Первое событие (чётное количество очков) не влияет на вероятность выпадения второго (что меньше 4). Следовательно:

\[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \]

Оба события независимы.

Итог

Таким образом, события, которые являются независимыми:

• Пара (A: «при первом броске выпадет 2 очка» и B: «при втором броске выпадет больше 2 очков»)
• Пара (A: «при первом броске выпадет 1 очко» и B: «хотя бы раз выпадет 3 очка»)
• Пара (A: «при первом броске выпадет чётное количество очков» и B: «при втором броске выпадет меньше 4 очков»)

События из второй пары не являются независимыми.

Таким образом, верные варианты ответов — первая, третья и четвёртая пары событий.