у=(5х+2)⁴

Рассмотрим выражение \( u = (5x + 2)^4 \) и найдем его производную с помощью правила цепной производной и формулы бинома Ньютона.

Шаг 1: Правило цепной производной

Для того чтобы найти производную функции вида \( u = (g(x))^n \), используется правило цепной производной:

\[ \frac{du}{dx} = n \cdot (g(x))^{n-1} \cdot \frac{dg}{dx} \]

где \( g(x) = 5x + 2 \) и \( n = 4 \).

Шаг 2: Найдем \( g'(x) \)

Сначала найдем производную функции \( g(x) = 5x + 2 \):

\[ g'(x) = 5 \]

Шаг 3: Применяем цепное правило

Теперь подставим все в формулу:

\[ \frac{du}{dx} = 4 \cdot (5x + 2)^{4-1} \cdot g'(x) \]

Получаем:

\[ \frac{du}{dx} = 4 \cdot (5x + 2)^3 \cdot 5 \]

Шаг 4: Упростим выражение

Упростим выражение, умножив:

\[ \frac{du}{dx} = 20 \cdot (5x + 2)^3 \]

Ответ

Таким образом, производная функции \( u = (5x + 2)^4 \) будет равна:

\[ \frac{du}{dx} = 20(5x + 2)^3 \]

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно объяснить какой-то из шагов подробнее, дайте знать!