Рассмотрим выражение ( u = (5x + 2)^4 ) и найдем его производную с помощью правила цепной производной и формулы бинома Ньютона.
Шаг 1: Правило цепной производной
Для того чтобы найти производную функции вида ( u = (g(x))^n ), используется правило цепной производной:
[
\frac{du}{dx} = n \cdot (g(x))^{n-1} \cdot \frac{dg}{dx}
]
где ( g(x) = 5x + 2 ) и ( n = 4 ).
Шаг 2: Найдем ( g'(x) )
Сначала найдем производную функции ( g(x) = 5x + 2 ):
[
g'(x) = 5
]
Шаг 3: Применяем цепное правило
Теперь подставим все в формулу:
[
\frac{du}{dx} = 4 \cdot (5x + 2)^{4-1} \cdot g'(x)
]
Получаем:
[
\frac{du}{dx} = 4 \cdot (5x + 2)^3 \cdot 5
]
Шаг 4: Упростим выражение
Упростим выражение, умножив:
[
\frac{du}{dx} = 20 \cdot (5x + 2)^3
]
Ответ
Таким образом, производная функции ( u = (5x + 2)^4 ) будет равна:
[
\frac{du}{dx} = 20(5x + 2)^3
]
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно объяснить какой-то из шагов подробнее, дайте знать!
