Чтобы решить систему уравнений:
- ( x + y = 2 )
- ( x^2 - y^2 = 100 )
сначала можно использовать первое уравнение для выражения одной переменной через другую. В данном случае выражим ( y ):
[
y = 2 - x
]
Теперь подставим это значение ( y ) во второе уравнение:
[
x^2 - (2 - x)^2 = 100
]
Теперь раскроем скобки во втором уравнении:
[
x^2 - (4 - 4x + x^2) = 100
]
Упрощаем это:
[
x^2 - 4 + 4x - x^2 = 100
]
Сокращаем ( x^2 ):
[
4x - 4 = 100
]
Теперь добавим 4 к обеим сторонам уравнения:
[
4x = 104
]
Теперь делим обе стороны на 4:
[
x = 26
]
Теперь, когда мы нашли ( x ), можем найти ( y ) по ранее найденному выражению:
[
y = 2 - x = 2 - 26 = -24
]
Таким образом, мы получили решение системы уравнений:
[
x = 26, \quad y = -24
]
Теперь давайте проверим полученные значения, подставив их обратно в оба уравнения:
- Проверяем первое уравнение:
[
26 + (-24) = 2 \quad \text{(верно)}
]
- Проверяем второе уравнение:
[
26^2 - (-24)^2 = 676 - 576 = 100 \quad \text{(верно)}
]
Итак, решение ( x = 26 ) и ( y = -24 ) удовлетворяет обеим системам уравнений.
