Реши

Для решения представленных задач воспользуемся системой линейных уравнений.

Задача 1:

Условие: Рабочие и ученики могут сделать 115 деталей. После того как, к группе рабочих в количестве 3 человек добавились ученики, они выполнили за час 27,4% всего плана. Сколько деталей в час изготавливает каждый ученик, если известно, что группа из трех учеников делает на 2,6 детали меньше, чем необходимо на выполнение плана?

Решение:

1. Пусть \( x \) — это количество деталей, которое изготавливает рабочий за час, а \( y \) — количество деталей, которое изготавливает ученик за час.

2. Относительно рабочих: \[ 115x = 27,4 \, \text{деталей} \] где \( 27,4\% \) — это \( 31,51 \) детали

3. Учитывая, что с добавлением учеников было выполнено \( 27,4\% \), у нас получается, что: \[ 3x + 3y = 31,5 + 2,6 \]

4. Мы знаем, что \( 3y = 31,5 - 2,6 = 28,9 \).

5. Подставляем: \[ 3y = 28,9 \, \text{деталей в час} \]

   Таким образом, \( y = \frac{28,9}{3} = 9,63 \).

Задача 2:

Условие: Ураган в среднем по пути прошел 5,3 ч и за него прошел 117 км. Сколько км в сумме требуется на поездки птицы?

Решение:

1. Пусть скоростью урагана будет \( v \, \text{км/h} \).

2. По формуле расстояния: \( S = v \cdot t \).

3. Получаем уравнение: \[ 5,3v = 117 \] Скорость урагана \( v = \frac{117}{5,3} \approx 22,08 \, \text{км/h} \).

4. Таким образом, чтобы рассчитать всю поездку птицы, если она следовала за ураганом, необходимо: \[ 117 \, \text{км} + v \cdot t \]

Задача 3:

Условие: Из одного города выехал по направлению другой велосипедист, а через 40 мин его догнал турист. Найдите скорость велосипедиста, если скорость туриста 18 км/ч.

Решение:

1. Пусть \( v \) — скорость велосипедиста.

2. Через 40 минут (или \( \frac{2}{3} \) часа) турист проехал: \[ \frac{2}{3} \times 18 = 12 \, \text{км} \]

3. Между началом движения велосипедиста и момента встречи прошло, скажем \( t \, \text{часов} \).

4. Турист и велосипедист покрыли таким образом одинаковое расстояние: \[ v \cdot t = 18 \cdot (t - \frac{2}{3}) \]

5. Решаем уравнение: \[ vt = 18t - 12 \]

6. Отсюда: \[ vt = 18t - 12 \]

7. Решаем для \( v \): \[ v = \frac{18t - 12}{t} = 18 - \frac{12}{t} \]

   Для более детального вычисления \( v \), если данные о времени \( t \) известны, можно подставлять.

Задача 4:

Условие: Скорость теплохода по течению 30 км/ч, а против — 18 км/ч. Найдите скорость стока и скорость теплохода в стоячей воде.

Решение:

1. Пусть \( x \) — это скорость теплохода в стоячей воде, а \( y \) — скорость течения реки.

2. Уравнения по условию задачи: \[ x + y = 30 \quad \text{(по течению)} \] \[ x - y = 18 \quad \text{(против течения)} \]

3. Складываем оба уравнения: \[ 2x = 48 \] \[ x = 24 \, \text{км/ч} \]

4. Подставим \( x = 24 \) в уравнение для скорости по течению: \[ 24 + y = 30 \] \[ y = 6 \, \text{км/ч} \]

Таким образом, скорость теплохода в стоячей воде равна 24 км/ч, а скорость течения реки — 6 км/ч.