к-1 в-2

Давайте разберем обе задачи.

Задача 1

1. Найдите координаты и длину вектора \(\mathbf{a}\), если:

\[ \mathbf{a} = \frac{1}{2}(\mathbf{b} + \mathbf{c}) \] где \(\mathbf{b} = \langle 3; -2\rangle\) и \(\mathbf{c} = \langle 6; 5 \rangle\).

Решение:

1. Найдем сумму векторов \(\mathbf{b}\) и \(\mathbf{c}\):

   \[ \mathbf{b} + \mathbf{c} = \langle 3 + 6; -2 + 5 \rangle = \langle 9; 3 \rangle \]

2. Теперь найдем половину этого вектора для \(\mathbf{a}\):

   \[ \mathbf{a} = \frac{1}{2} \cdot \langle 9; 3 \rangle = \langle \frac{9}{2}; \frac{3}{2} \rangle \]

3. Найдем длину вектора \(\mathbf{a}\):

   \[ |\mathbf{a}| = \sqrt{\left(\frac{9}{2}\right)^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{81}{4} + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{90}{4}} = \sqrt{\frac{45}{2}} = \frac{3\sqrt{10}}{2} \]

Ответ: Координаты вектора \(\mathbf{a}\) — \(\langle \frac{9}{2}; \frac{3}{2} \rangle\), длина \(\frac{3\sqrt{10}}{2}\).

2. Доказать, что треугольник ABC равнобедренный, и найти высоту треугольника, проведенную из вершины A.

Даны координаты вершин треугольника \(A(-6; 1)\), \(B(2; 4)\), \(C(2; -2)\).

Решение:

1. Найдем длины сторон \(AB\) и \(AC\):

   \[ AB = \sqrt{(2 - (-6))^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{8^2 + 3^2} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73} \]

   \[ AC = \sqrt{(2 - (-6))^2 + (-2 - 1)^2} = \sqrt{8^2 + (-3)^2} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73} \]

   Так как \(AB = AC\), треугольник равнобедренный.

2. Найдем высоту, проведенную из вершины \(A\).

   Высота \(AH\) совпадает с расстоянием от точки \(A\) до прямой \(x = 2\) (створка \(BC\)).

   Так как \(x_A = -6\), а линия \(x = 2\), расстояние:

   \[ AH = |-6 - 2| = 8 \]

Ответ: Треугольник \(ABC\) равнобедренный, \(AH = 8\).

Задача 2

1. Найдите вектор, параллельный диаметру окружности, если окружность задана \((x - 1)^2 + y^2 = 16\).

Решение:

1. Центр окружности: \(O(1; 0)\) и радиус \(R = 4\).

2. Диаметр проходит через центр, поэтому вектор, параллельный диаметру, может быть как \(\langle 1; 0 \rangle\), так и в противоположном направлении. Альтернативно, можно использовать любую не нулевую кратность этого вектора.

Ответ: \(\langle 1; 0 \rangle\).

2. Найдите координаты вершины параллелограмма \(ABCD\)

Запомните:

• \(A(-6; 5)\), \(B(2; 1)\), \(C(3; 2)\)

И определите:

• \(D\) и доказательство для параллелограмма через диагональ \(AC\).

Решение:

1. Параллелограмм \(ABCD\) имеет диагонали, пересекающиеся в средней точке. Найдем середину \(S\) диагонали \(AC\):

   \[ S = \left(\frac{-6 + 3}{2}; \frac{5 + 2}{2}\right) = \left(-\frac{3}{2}; \frac{7}{2}\right) \]

2. \(S\) также должна быть средней точкой для диагонали \(BD\):

   \[ \left(\frac{2 + x}{2}; \frac{1 + y}{2}\right) = \left(-\frac{3}{2}; \frac{7}{2}\right) \]

3. Решаем систему:

   • \(\frac{2 + x}{2} = -\frac{3}{2} \Rightarrow 2 + x = -3 \Rightarrow x = -5\)
   • \(\frac{1 + y}{2} = \frac{7}{2} \Rightarrow 1 + y = 7 \Rightarrow y = 6\)

Координаты вершины \(D(-5; 6)\).

Ответ: Координаты вершины \(D(-5; 6)\).