. Вычислить: С27-C2 2. Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «песня». Ребё-нок, не умеющий читать, рассы-пал буквы и затем собрал в про-извольном порядке. Найти…

Для решения ваших задач давайте разберём каждую из них по порядку.

Задача 1: Вычислить \( C_{27} - C_{2} \)

Шаг 1: Вспомним, что \( C_n^k \) (коэффициент комбинации) вычисляется по формуле:

\[ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где \( n! \) — факториал числа \( n \).

Шаг 2: Применим формулу для \( C_{27} \) и \( C_{2} \).

• Для \( C_{27}^2 \): \[ C_{27}^2 = \frac{27!}{2!(27-2)!} = \frac{27!}{2! \cdot 25!} = \frac{27 \times 26}{2 \times 1} = 351 \]

• Для \( C_{2}^2 \): \[ C_{2}^2 = \frac{2!}{2!(2-2)!} = \frac{2!}{2! \cdot 0!} = 1 \text{ (так как \(0! = 1\))} \]

Шаг 3: Теперь найдём разность: \[ C_{27}^2 - C_{2}^2 = 351 - 1 = 350 \]

Таким образом, ответ к задаче: 350.

Задача 2: Найти вероятность того, что буквы собрались в слово «песня»

Шаг 1: Определим общее количество перестановок букв в слове «песня». Слово состоит из 5 различных букв, поэтому общее количество перестановок равно \( 5! \):

\[ 5! = 120 \]

Шаг 2: Поскольку буквы в слове «песня» уникальны, существует только 1 способ сложить буквы так, чтобы получить слово «песня».

Шаг 3: Теперь посчитаем вероятность.

Вероятность \( P \) того, что случайно собранные буквы образуют слово «песня»:

\[ P = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество исходов}} = \frac{1}{120} \]

Таким образом, вероятность того, что у ребёнка снова получилось слово «песня», равна \( \frac{1}{120} \).

Задача 3: Вычислить вероятность включения камер

Шаг 1: Определим вероятности, что камера включена:

• Камера 1: \( P_1 = 0.9 \)
• Камера 2: \( P_2 = 0.8 \)
• Камера 3: \( P_3 = 0.7 \)

Шаг 2: Рассчитаем вероятность того, что включены:

• а) Две камеры

Для выбора 2 включенных камер и 1 выключенной камеры можно использовать биномальный подход. Сумма всех вероятностей, где только 2 камеры работают:

\[ P(\text{две камеры}) = P_1 P_2 (1 - P_3) + P_1 P_3 (1 - P_2) + P_2 P_3 (1 - P_1) \]

Подставим значения:

\[ = (0.9 \times 0.8 \times (1 - 0.7)) + (0.9 \times 0.7 \times (1 - 0.8)) + (0.8 \times 0.7 \times (1 - 0.9)) \] \[ = (0.9 \times 0.8 \times 0.3) + (0.9 \times 0.7 \times 0.2) + (0.8 \times 0.7 \times 0.1) \] \[ = 0.216 + 0.126 + 0.056 \] \[ = 0.398 \]

Таким образом, вероятность того, что включены две камеры, равна 0.398.

Шаг 3: Рассчитаем вероятность того, что включены три камеры:

\[ P(\text{три камеры}) = P_1 \times P_2 \times P_3 = 0.9 \times 0.8 \times 0.7 \] \[ = 0.504 \]

Таким образом, вероятность того, что включены три камеры, равна 0.504.

Ответы:

1. \( C_{27} - C_{2} = 350 \)
2. Вероятность слова «песня» = \( \frac{1}{120} \)
3. Вероятность включения двух камер = 0.398; вероятность включения трёх камер = 0.504.