Для решения задачи по арифметической прогрессии (АП) давайте воспользуемся следующими обозначениями и свойствами.
Шаг 1: Обозначения
В арифметической прогрессии каждый член можно выразить через первый член и разность прогрессии.
Обозначим:
- ( a_1 ) — первый член прогрессии,
- ( d ) — разность прогрессии.
Тогда ( n )-й член прогрессии можно записать как:
[
a_n = a_1 + (n-1)d
]
Шаг 2: Составим уравнения по условию задачи
Ваша задача уже содержит информацию о суммах членов с четными и нечетными номерами. Рассмотрим их по отдельности:
Члены с четными номерами:
- Это члены: ( a_2, a_4, a_6, \ldots, a_{16} ) (всего 8 членов).
Выразим их через первый член и разность:
[
a_2 = a_1 + d, \quad a_4 = a_1 + 3d, \quad a_6 = a_1 + 5d, \ldots, a_{16} = a_1 + 15d
]
Сумма всех этих членов равна 32:
[
(a_1 + d) + (a_1 + 3d) + (a_1 + 5d) + \ldots + (a_1 + 15d) = 32
]
Суммируем:
[
8a_1 + (1 + 3 + 5 + \ldots + 15)d = 32
]
Сумму членов (нечетных) можно найти по формуле суммы первых (n) нечетных чисел: (1 + 3 + 5 + \ldots + (2n - 1) = n^2). В нашем случае (n = 8):
[
1 + 3 + 5 + \ldots + 15 = 8^2 = 64
]
Итак, у нас:
[
8a_1 + 64d = 32 \quad \text{(1)}
]
[
a_1 + (a_1 + 2d) + (a_1 + 4d) + \ldots + (a_1 + 14d) = 16
]
Суммируем:
[
8a_1 + (0 + 2 + 4 + \ldots + 14)d = 16
]
Сумма чётных чисел от 0 до 14:
[
0 + 2 + 4 + \ldots + 14 = 2(0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7) = 2 \cdot 28 = 56
]
Итак, у нас:
[
8a_1 + 56d = 16 \quad \text{(2)}
]
Шаг 3: Решим систему уравнений
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
- ( 8a_1 + 64d = 32 )
- ( 8a_1 + 56d = 16 )
Вычтем второе уравнение из первого:
[
(64d - 56d) = 32 - 16
]
[
8d = 16 \implies d = 2
]
Теперь подставим (d) во второе уравнение:
[
8a_1 + 56 \cdot 2 = 16
]
[
8a_1 + 112 = 16 \implies 8a_1 = 16 - 112
]
[
8a_1 = -96 \implies a_1 = -12
]
Шаг 4: Найдем десятый член прогрессии
Теперь мы нашли первый член и разность прогрессии:
Теперь можем найти 10-й член прогрессии:
[
a_{10} = a_1 + (10 - 1)d = -12 + 9 \cdot 2
]
[
a_{10} = -12 + 18 = 6
]
Ответ
Десятый член прогрессии равен (6).
