В арифметической прогрессии 16 16 членов. Сумма членов с чётными номерами равна 32 , 32, а сумма членов с нечётными номерами равна 16. 16. Найдите десятый член прогрессии. a 10 =…

Для решения задачи по арифметической прогрессии (АП) давайте воспользуемся следующими обозначениями и свойствами.

Шаг 1: Обозначения

В арифметической прогрессии каждый член можно выразить через первый член и разность прогрессии.

Обозначим:

• \( a_1 \) — первый член прогрессии,
• \( d \) — разность прогрессии.

Тогда \( n \)-й член прогрессии можно записать как: \[ a_n = a_1 + (n-1)d \]

Шаг 2: Составим уравнения по условию задачи

Ваша задача уже содержит информацию о суммах членов с четными и нечетными номерами. Рассмотрим их по отдельности:

• Члены с четными номерами:

  • Это члены: \( a_2, a_4, a_6, \ldots, a_{16} \) (всего 8 членов).

  Выразим их через первый член и разность: \[ a_2 = a_1 + d, \quad a_4 = a_1 + 3d, \quad a_6 = a_1 + 5d, \ldots, a_{16} = a_1 + 15d \]

  Сумма всех этих членов равна 32: \[ (a_1 + d) + (a_1 + 3d) + (a_1 + 5d) + \ldots + (a_1 + 15d) = 32 \]

  Суммируем:

\[ 8a_1 + (1 + 3 + 5 + \ldots + 15)d = 32 \]

Сумму членов (нечетных) можно найти по формуле суммы первых \(n\) нечетных чисел: \(1 + 3 + 5 + \ldots + (2n - 1) = n^2\). В нашем случае \(n = 8\): \[ 1 + 3 + 5 + \ldots + 15 = 8^2 = 64 \]

Итак, у нас: \[ 8a_1 + 64d = 32 \quad \text{(1)} \]

• Члены с нечетными номерами:

  • Это члены: \( a_1, a_3, a_5, \ldots, a_{15} \) (всего 8 членов).

  Запишем сумму этих членов:

\[ a_1 + (a_1 + 2d) + (a_1 + 4d) + \ldots + (a_1 + 14d) = 16 \]

Суммируем: \[ 8a_1 + (0 + 2 + 4 + \ldots + 14)d = 16 \]

Сумма чётных чисел от 0 до 14: \[ 0 + 2 + 4 + \ldots + 14 = 2(0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7) = 2 \cdot 28 = 56 \]

Итак, у нас: \[ 8a_1 + 56d = 16 \quad \text{(2)} \]

Шаг 3: Решим систему уравнений

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. \( 8a_1 + 64d = 32 \)
2. \( 8a_1 + 56d = 16 \)

Вычтем второе уравнение из первого: \[ (64d - 56d) = 32 - 16 \] \[ 8d = 16 \implies d = 2 \]

Теперь подставим \(d\) во второе уравнение: \[ 8a_1 + 56 \cdot 2 = 16 \] \[ 8a_1 + 112 = 16 \implies 8a_1 = 16 - 112 \] \[ 8a_1 = -96 \implies a_1 = -12 \]

Шаг 4: Найдем десятый член прогрессии

Теперь мы нашли первый член и разность прогрессии:

• \( a_1 = -12 \)
• \( d = 2 \)

Теперь можем найти 10-й член прогрессии: \[ a_{10} = a_1 + (10 - 1)d = -12 + 9 \cdot 2 \] \[ a_{10} = -12 + 18 = 6 \]

Ответ

Десятый член прогрессии равен \(6\).