решить задачу система уравнений площадь прямоугольника равна 120 квадратных сантиметров а диагональ его 17 сантиметров найти стороны прямоугольника

Для решения задачи с системой уравнений, давайте обозначим стороны прямоугольника как \( a \) и \( b \). У нас есть две основные информации:

1. Площадь прямоугольника:
   \[ a \cdot b = 120 \]

2. Длину диагонали, которую можно найти с помощью теоремы Пифагора:
   \[ d = \sqrt{a^2 + b^2} \]
   В нашей задаче \( d = 17 \) см, следовательно:
   \[ \sqrt{a^2 + b^2} = 17 \]
   Квадратируем обе стороны:
   \[ a^2 + b^2 = 17^2 = 289 \]

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \( a \cdot b = 120 \)
2. \( a^2 + b^2 = 289 \)

Шаг 1: Выразить одну переменную через другую

Из первого уравнения выражаем \( b \): \[ b = \frac{120}{a} \]

Шаг 2: Подставить выражение во второе уравнение

Теперь заменим \( b \) во втором уравнении: \[ a^2 + \left(\frac{120}{a}\right)^2 = 289 \]

Раскроем скобки: \[ a^2 + \frac{14400}{a^2} = 289 \]

Шаг 3: Умножим на \( a^2 \)

Чтобы избавиться от дроби, умножим всё уравнение на \( a^2 \): \[ a^4 - 289a^2 + 14400 = 0 \]

Шаг 4: Обозначим новую переменную

Пусть \( x = a^2 \). Тогда уравнение принимает вид: \[ x^2 - 289x + 14400 = 0 \]

Шаг 5: Найдём корни уравнения

Решим квадратное уравнение с помощью формулы корней: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = -289 \), \( c = 14400 \).

Подставим значения: \[ x = \frac{289 \pm \sqrt{(-289)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14400}}{2 \cdot 1} \] \[ = \frac{289 \pm \sqrt{83521 - 57600}}{2} \] \[ = \frac{289 \pm \sqrt{25921}}{2} \] \[ = \frac{289 \pm 161}{2} \]

Шаг 6: Находим два решения

Теперь найдём два возможных значения для \( x \):

1. \( x_1 = \frac{289 + 161}{2} = \frac{450}{2} = 225 \)
2. \( x_2 = \frac{289 - 161}{2} = \frac{128}{2} = 64 \)

Шаг 7: Находим значения \( a \) и \( b \)

Теперь возвращаемся к переменной \( a \):

1. Если \( a^2 = 225 \), тогда \( a = 15 \) и \( b = \frac{120}{15} = 8 \).
2. Если \( a^2 = 64 \), тогда \( a = 8 \) и \( b = \frac{120}{8} = 15 \).

Ответ

Стороны прямоугольника равны \( 15 \) см и \( 8 \) см.