Для решения задачи с системой уравнений, давайте обозначим стороны прямоугольника как ( a ) и ( b ). У нас есть две основные информации:
Площадь прямоугольника:
[
a \cdot b = 120
]
Длину диагонали, которую можно найти с помощью теоремы Пифагора:
[
d = \sqrt{a^2 + b^2}
]
В нашей задаче ( d = 17 ) см, следовательно:
[
\sqrt{a^2 + b^2} = 17
]
Квадратируем обе стороны:
[
a^2 + b^2 = 17^2 = 289
]
Теперь у нас есть система уравнений:
- ( a \cdot b = 120 )
- ( a^2 + b^2 = 289 )
Шаг 1: Выразить одну переменную через другую
Из первого уравнения выражаем ( b ):
[
b = \frac{120}{a}
]
Шаг 2: Подставить выражение во второе уравнение
Теперь заменим ( b ) во втором уравнении:
[
a^2 + \left(\frac{120}{a}\right)^2 = 289
]
Раскроем скобки:
[
a^2 + \frac{14400}{a^2} = 289
]
Шаг 3: Умножим на ( a^2 )
Чтобы избавиться от дроби, умножим всё уравнение на ( a^2 ):
[
a^4 - 289a^2 + 14400 = 0
]
Шаг 4: Обозначим новую переменную
Пусть ( x = a^2 ). Тогда уравнение принимает вид:
[
x^2 - 289x + 14400 = 0
]
Шаг 5: Найдём корни уравнения
Решим квадратное уравнение с помощью формулы корней:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где ( a = 1 ), ( b = -289 ), ( c = 14400 ).
Подставим значения:
[
x = \frac{289 \pm \sqrt{(-289)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14400}}{2 \cdot 1}
]
[
= \frac{289 \pm \sqrt{83521 - 57600}}{2}
]
[
= \frac{289 \pm \sqrt{25921}}{2}
]
[
= \frac{289 \pm 161}{2}
]
Шаг 6: Находим два решения
Теперь найдём два возможных значения для ( x ):
- ( x_1 = \frac{289 + 161}{2} = \frac{450}{2} = 225 )
- ( x_2 = \frac{289 - 161}{2} = \frac{128}{2} = 64 )
Шаг 7: Находим значения ( a ) и ( b )
Теперь возвращаемся к переменной ( a ):
- Если ( a^2 = 225 ), тогда ( a = 15 ) и ( b = \frac{120}{15} = 8 ).
- Если ( a^2 = 64 ), тогда ( a = 8 ) и ( b = \frac{120}{8} = 15 ).
Ответ
Стороны прямоугольника равны ( 15 ) см и ( 8 ) см.
