При расслабленной пружине цилиндр заполнен 5 л газа при давлении 1 атмосфера и температуре 20°C. Если площадь поперечного сечения поршня составляет 0,01 м² и его масса…

Чтобы решить эту задачу, будем использовать закон Бойля-Мариотта и уравнение состояния идеального газа. Давайте разберем задачу по шагам.

Шаг 1: Данные и константы

Мы имеем следующие исходные данные:

• Объем газа \( V_1 = 5 \, \text{л} = 0.005 \, \text{м}^3 \) (так как 1 л = 0.001 м³)
• Давление при первоначальных условиях \( P_1 = 1 \, \text{атм} = 101300 \, \text{Па} \)
• Температура при первоначальных условиях \( T_1 = 20 \, \text{°C} = 293 \, \text{К} \)
• Температура при конечных условиях \( T_2 = 250 \, \text{°C} = 523 \, \text{К} \)
• Площадь поперечного сечения поршня \( S = 0.01 \, \text{м}^2 \)
• Жесткость пружины \( k = 2000 \, \text{Н/м} \)

Шаг 2: Применение уравнения состояния идеального газа

Сначала используем уравнение состояния идеального газа. Это уравнение можно записать как:

\[ P_1 V_1 = n R T_1 \]

где:

• \( n \) — количество молей газа,
• \( R \) — универсальная газовая постоянная (примерно \( 8.31 \, \text{Дж/(моль·К)} \)).

Сначала найдем количество молей \( n \).

\[ n = \frac{P_1 V_1}{R T_1} \]

Шаг 3: Подстановка значений

Подставляем данные в формулу для нахождения \( n \):

\[ n = \frac{101300 \times 0.005}{8.31 \times 293} \]

Посчитаем:

\[ n \approx \frac{506.5}{2436.03} \approx 0.207 \, \text{моль} \]

Шаг 4: Найдем конечное давление при температуре \( T_2 \)

Теперь, когда мы знаем \( n \), можем найти давление \( P_2 \) при \( T_2 \):

\[ P_2 = \frac{n R T_2}{V_1} \]

Подставим значения:

\[ P_2 = \frac{0.207 \times 8.31 \times 523}{0.005} \]

Считаем:

\[ P_2 \approx \frac{0.207 \times 8.31 \times 523}{0.005} \approx \frac{900.52}{0.005} \approx 180104 \, \text{Па} \]

Шаг 5: Перевод давления в килопаскали

Чтобы выразить давление в килопаскалях, нужно разделить на 1000:

\[ P_2 = \frac{180104 \, \text{Па}}{1000} \approx 180.1 \, \text{кПа} \]

Шаг 6: Ответ

Таким образом, давление газа при температуре 250 °C составляет примерно 180.1 кПа.

Это решение подчеркнуло, как применять закон идеального газа для решения задач, связанных с изменением температуры, объема и давления газа.