Чтобы решить эту задачу, будем использовать закон Бойля-Мариотта и уравнение состояния идеального газа. Давайте разберем задачу по шагам.
Шаг 1: Данные и константы
Мы имеем следующие исходные данные:
- Объем газа ( V_1 = 5 , \text{л} = 0.005 , \text{м}^3 ) (так как 1 л = 0.001 м³)
- Давление при первоначальных условиях ( P_1 = 1 , \text{атм} = 101300 , \text{Па} )
- Температура при первоначальных условиях ( T_1 = 20 , \text{°C} = 293 , \text{К} )
- Температура при конечных условиях ( T_2 = 250 , \text{°C} = 523 , \text{К} )
- Площадь поперечного сечения поршня ( S = 0.01 , \text{м}^2 )
- Жесткость пружины ( k = 2000 , \text{Н/м} )
Шаг 2: Применение уравнения состояния идеального газа
Сначала используем уравнение состояния идеального газа. Это уравнение можно записать как:
[
P_1 V_1 = n R T_1
]
где:
- ( n ) — количество молей газа,
- ( R ) — универсальная газовая постоянная (примерно ( 8.31 , \text{Дж/(моль·К)} )).
Сначала найдем количество молей ( n ).
[
n = \frac{P_1 V_1}{R T_1}
]
Шаг 3: Подстановка значений
Подставляем данные в формулу для нахождения ( n ):
[
n = \frac{101300 \times 0.005}{8.31 \times 293}
]
Посчитаем:
[
n \approx \frac{506.5}{2436.03} \approx 0.207 , \text{моль}
]
Шаг 4: Найдем конечное давление при температуре ( T_2 )
Теперь, когда мы знаем ( n ), можем найти давление ( P_2 ) при ( T_2 ):
[
P_2 = \frac{n R T_2}{V_1}
]
Подставим значения:
[
P_2 = \frac{0.207 \times 8.31 \times 523}{0.005}
]
Считаем:
[
P_2 \approx \frac{0.207 \times 8.31 \times 523}{0.005} \approx \frac{900.52}{0.005} \approx 180104 , \text{Па}
]
Шаг 5: Перевод давления в килопаскали
Чтобы выразить давление в килопаскалях, нужно разделить на 1000:
[
P_2 = \frac{180104 , \text{Па}}{1000} \approx 180.1 , \text{кПа}
]
Шаг 6: Ответ
Таким образом, давление газа при температуре 250 °C составляет примерно 180.1 кПа.
Это решение подчеркнуло, как применять закон идеального газа для решения задач, связанных с изменением температуры, объема и давления газа.
