Чтобы найти длину вектора ( \mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c} ), начнем с определения каждого вектора и их суммы. Даны следующие векторы:
[
\mathbf{a} = \begin{pmatrix} -2 \ 4 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 3 \ -1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{c} = \begin{pmatrix} 11 \ 2 \end{pmatrix}
]
Шаг 1: Найдем сумму векторов ( \mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c} )
Сложим их координаты поэлементно:
[
\mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{pmatrix} -2 + 3 \ 4 + (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \ 3 \end{pmatrix}
]
Теперь добавим вектор ( \mathbf{c} ):
[
\mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c} = \begin{pmatrix} 1 \ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 11 \ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 11 \ 3 + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \ 5 \end{pmatrix}
]
Теперь у нас есть сумма векторов:
[
\mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c} = \begin{pmatrix} 12 \ 5 \end{pmatrix}
]
Шаг 2: Найдем длину вектора ( \mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c} )
Длину (или норму) вектора можно найти по формуле:
[
|\mathbf{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}
]
где ( \mathbf{v} = \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} ).
В нашем случае, ( x = 12 ) и ( y = 5 ). Подставим эти значения в формулу:
[
|\mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c}| = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13
]
Ответ
Длина вектора ( \mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c} ) равна ( 13 ).
