Вычисли cos ⁡ 2 α cos2α , зная, что sin ⁡ α = 1 3 sinα= 3 1 ​ , 5 0 ∘ < α < 9 0 ∘ 50 ∘ <α<90 ∘ .

Для нахождения значения \( \cos 2\alpha \) при условии, что \( \sin \alpha = \frac{1}{3} \) и \( 50^\circ < \alpha < 90^\circ \), мы можем воспользоваться формулой двойного угла для косинуса:

\[ \cos 2\alpha = 1 - 2 \sin^2 \alpha \]

Шаг 1: Находим \( \sin^2 \alpha \)

Поскольку \( \sin \alpha = \frac{1}{3} \), находим \( \sin^2 \alpha \):

\[ \sin^2 \alpha = \left( \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{1}{9} \]

Шаг 2: Подставляем в формулу для \( \cos 2\alpha \)

Теперь можем подставить \( \sin^2 \alpha \) в формулу:

\[ \cos 2\alpha = 1 - 2 \cdot \frac{1}{9} = 1 - \frac{2}{9} = \frac{9}{9} - \frac{2}{9} = \frac{7}{9} \]

Ответ

Таким образом, значение \( \cos 2\alpha \) равно:

\[ \cos 2\alpha = \frac{7}{9} \]

Итог

Мы получили значение \( \cos 2\alpha \) на основе значения \( \sin \alpha \) и формулы, что позволяет нам понять, как связаны тригонометрические функции между собой.