Для нахождения значения ( \cos 2\alpha ) при условии, что ( \sin \alpha = \frac{1}{3} ) и ( 50^\circ < \alpha < 90^\circ ), мы можем воспользоваться формулой двойного угла для косинуса:
[
\cos 2\alpha = 1 - 2 \sin^2 \alpha
]
Шаг 1: Находим ( \sin^2 \alpha )
Поскольку ( \sin \alpha = \frac{1}{3} ), находим ( \sin^2 \alpha ):
[
\sin^2 \alpha = \left( \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{1}{9}
]
Шаг 2: Подставляем в формулу для ( \cos 2\alpha )
Теперь можем подставить ( \sin^2 \alpha ) в формулу:
[
\cos 2\alpha = 1 - 2 \cdot \frac{1}{9} = 1 - \frac{2}{9} = \frac{9}{9} - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}
]
Ответ
Таким образом, значение ( \cos 2\alpha ) равно:
[
\cos 2\alpha = \frac{7}{9}
]
Итог
Мы получили значение ( \cos 2\alpha ) на основе значения ( \sin \alpha ) и формулы, что позволяет нам понять, как связаны тригонометрические функции между собой.
