x+4/x+1 - 10/x²-1=8
Давайте решим уравнение, данное в задаче:
\[ \frac{x+4}{x+1} - \frac{10}{x^2-1} = 8 \]
Шаг 1: Приведем уравнение к общему знаменателю.
Обратите внимание, что \(x^2 - 1\) можно разложить на множители:
\[ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \]
Таким образом, общий знаменатель для левой части уравнения будет:
\[ (x + 1)(x - 1) \]
Теперь мы можем записать каждую дробь с учетом общего знаменателя.
Шаг 2: Преобразуем дроби.
Для первой дроби \(\frac{x+4}{x+1}\):
\[ \frac{x+4}{x+1} = \frac{(x + 4)(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)} \]
Для второй дроби \(\frac{10}{x^2 - 1} = \frac{10}{(x - 1)(x + 1)}\):
\[ \frac{10}{x^2 - 1} = \frac{10}{(x - 1)(x + 1)} \]
Теперь подставим эти дроби обратно в уравнение:
\[ \frac{(x + 4)(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)} - \frac{10}{(x - 1)(x + 1)} = 8 \]
Шаг 3: Преобразуем уравнение.
Теперь у нас есть общий знаменатель. Умножим всё уравнение на \((x + 1)(x - 1)\) для устранения знаменателей:
\[ (x + 4)(x - 1) - 10 = 8(x + 1)(x - 1) \]
Шаг 4: Раскроем скобки.
Раскроем скобки на левой сторонe:
\[ x^2 + 4x - x - 4 - 10 = 8(x^2 - 1) \]
Сарезультируем и упрощаем:
\[ x^2 + 3x - 14 = 8x^2 - 8 \]
Шаг 5: Переносим все на одну сторону.
Переносим все на одну сторону уравнения:
\[ x^2 + 3x - 14 - 8x^2 + 8 = 0 \]
Это упростится в:
\[ -7x^2 + 3x - 6 = 0 \]
Умножаем все на -1 для упрощения:
\[ 7x^2 - 3x + 6 = 0 \]
Шаг 6: Решим квадратное уравнение.
Применим формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
\[ D = b^2 - 4ac \]
где \(a = 7\), \(b = -3\), \(c = 6\). Подставим значения:
\[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 6 = 9 - 168 = -159 \]
Значение дискриминанта отрицательное (\(D < 0\)), значит, у уравнения нет действительных корней.
Вывод
У супремного уравнения \(x + 4/(x + 1) - 10/(x^2 - 1) = 8\) нет действительных решений, так как дискриминант оказывается отрицательным. Это означает, что график функции не пересекает ось \(x\) и уравнение не имеет действительных корней.
