Найдите косинус угла между векторами a (3, -4) и b (24, -7)

Чтобы найти косинус угла между двумя векторами \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \), используется формула: \[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|} \] где \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \) — скалярное произведение векторов, а \( |\mathbf{a}| \) и \( |\mathbf{b}| \) — их длины. ### Шаг 1: Вычислим скалярное произведение векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \). Вектор \( \mathbf{a} = (3, -4) \), а вектор \( \mathbf{b} = (24, -7) \). Скалярное произведение вычисляется по формуле: \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 \] Подставляем значения: \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 3 \cdot 24 + (-4) \cdot (-7) = 72 + 28 = 100 \] ### Шаг 2: Найдем длины векторов \( |\mathbf{a}| \) и \( |\mathbf{b}| \). Длина вектора \( \mathbf{a} \) вычисляется так: \[ |\mathbf{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \] Теперь находим длину вектора \( \mathbf{b} \): \[ |\mathbf{b}| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2} = \sqrt{24^2 + (-7)^2} = \sqrt{576 + 49} = \sqrt{625} = 25 \] ### Шаг 3: Подставим все значения в формулу для косинуса угла. Теперь мы можем подставить значения в формулу для косинуса угла: \[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|} = \frac{100}{5 \cdot 25} = \frac{100}{125} = 0.8 \] ### Ответ Косинус угла между векторами \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) равен \( 0.8 \). Если требуется найти сам угол \( \theta \), то можно воспользоваться арккосинусом: \[ \theta = \cos^{-1}(0.8) \] Это может быть вычислено с помощью калькулятора, в результате получится примерно \( 36.87^\circ \).