Найдите косинус угла между векторами a (3, -4) и b (24, -7)
Чтобы найти косинус угла между двумя векторами \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \), используется формула:
\[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|} \]
где \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \) — скалярное произведение векторов, а \( |\mathbf{a}| \) и \( |\mathbf{b}| \) — их длины.
Шаг 1: Вычислим скалярное произведение векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \).
Вектор \( \mathbf{a} = (3, -4) \), а вектор \( \mathbf{b} = (24, -7) \).
Скалярное произведение вычисляется по формуле:
\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 \]
Подставляем значения:
\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 3 \cdot 24 + (-4) \cdot (-7) = 72 + 28 = 100 \]
Шаг 2: Найдем длины векторов \( |\mathbf{a}| \) и \( |\mathbf{b}| \).
Длина вектора \( \mathbf{a} \) вычисляется так:
\[ |\mathbf{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]
Теперь находим длину вектора \( \mathbf{b} \):
\[ |\mathbf{b}| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2} = \sqrt{24^2 + (-7)^2} = \sqrt{576 + 49} = \sqrt{625} = 25 \]
Шаг 3: Подставим все значения в формулу для косинуса угла.
Теперь мы можем подставить значения в формулу для косинуса угла:
\[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|} = \frac{100}{5 \cdot 25} = \frac{100}{125} = 0.8 \]
Ответ
Косинус угла между векторами \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) равен \( 0.8 \).
Если требуется найти сам угол \( \theta \), то можно воспользоваться арккосинусом:
\[ \theta = \cos^{-1}(0.8) \]
Это может быть вычислено с помощью калькулятора, в результате получится примерно \( 36.87^\circ \).
