Для решения задачи нам необходимо определить собственную скорость баржи, зная, что она прошла 60 км вниз по течению и 40 км вверх против течения за 10 часов. Также мы знаем скорость течения реки, которая составляет 2 км/ч.
Давайте обозначим собственную скорость баржи как ( v ) (в км/ч).
Шаг 1: Определим скорости
Скорость баржи по течению (вниз):
[
v_1 = v + 2 \ \text{(собственная скорость баржи + скорость течения)}
]
Скорость баржи против течения (вверх):
[
v_2 = v - 2 \ \text{(собственная скорость баржи - скорость течения)}
]
Шаг 2: Определим время на каждый участок пути
Теперь мы можем выразить время, затраченное на каждый участок пути, через собственную скорость баржи:
Время, затраченное на путь по течению:
[
t_1 = \frac{60}{v_1} = \frac{60}{v + 2}
]
Время, затраченное на путь против течения:
[
t_2 = \frac{40}{v_2} = \frac{40}{v - 2}
]
Шаг 3: Составим уравнение для общего времени
Общая затраченная время на оба участка пути составляет 10 часов:
[
t_1 + t_2 = 10
]
Подставим значения для ( t_1 ) и ( t_2 ):
[
\frac{60}{v + 2} + \frac{40}{v - 2} = 10
]
Шаг 4: Умножим на общий знаменатель
Давайте умножим обе стороны уравнения на ( (v + 2)(v - 2) ) (чтобы избавиться от дробей):
[
60(v - 2) + 40(v + 2) = 10(v + 2)(v - 2)
]
Шаг 5: Раскроем скобки
Раскроем скобки:
[
60v - 120 + 40v + 80 = 10(v^2 - 4)
]
Соберем подобные слагаемые:
[
100v - 40 = 10v^2 - 40
]
Шаг 6: Переносим все в одну сторону
Переносим все слагаемые в одну сторону:
[
10v^2 - 100v = 0
]
Шаг 7: Вынесем общий множитель
Вынесем общий множитель:
[
10v(v - 10) = 0
]
Шаг 8: Находим возможные значения
Решаем уравнение:
- ( 10v = 0 ) → ( v = 0 ) (это невозможно, так как баржа должна иметь скорость).
- ( v - 10 = 0 ) → ( v = 10 ).
Итог
Таким образом, собственная скорость баржи ( v = 10 ) км/ч.
Ответ
Собственная скорость баржи составляет 10 км/ч.
