Два автомобиля одновременно отправились в  540-километровый пробег. Первый ехал со скоростью на  9 км/ч больше, чем второй, и прибыл к финишу на  2 ч раньше второго. Найди скорость первого автомобиля.

Для решения задачи начнем с обозначений. Пусть: - Скорость второго автомобиля (медленнее) равна \( v \) км/ч. - Скорость первого автомобиля (быстрее) будет тогда равна \( v + 9 \) км/ч. Обозначим время, которое требуется второму автомобилю для прохождения 540 км, как \( t \) часов. Тогда время, которое требуется первому автомобилю, будет \( t - 2 \) часа, так как он прибыл на 2 часа раньше. Теперь можем записать уравнения для времени в зависимости от скорости и расстояния. Время находится по формуле: \[ t = \frac{S}{v} \] где \( S \) — расстояние, \( v \) — скорость. Для второго автомобиля: \[ t = \frac{540}{v} \] Для первого автомобиля: \[ t - 2 = \frac{540}{v + 9} \] Теперь можем подставить значение \( t \) из первого уравнения во второе: \[ \frac{540}{v} - 2 = \frac{540}{v + 9} \] Умножим оба выражения на \( v(v + 9) \) для избавления от дробей: \[ 540(v + 9) - 2v(v + 9) = 540v \] Раскроем скобки: \[ 540v + 4860 - 2v^2 - 18v = 540v \] Теперь упростим уравнение: \[ 4860 - 2v^2 - 18v = 0 \] Перепишем уравнение в стандартной форме: \[ 2v^2 + 18v - 4860 = 0 \] Разделим все коэффициенты на 2: \[ v^2 + 9v - 2430 = 0 \] Теперь применим формулу решения квадратного уравнения: \[ v = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a} \] Здесь \( a = 1 \), \( b = 9 \), \( c = -2430 \): \[ b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2430) = 81 + 9720 = 9801 \] Теперь находим корень: \[ \sqrt{9801} = 99 \] Теперь подставляем значение в формулу: \[ v = \frac{{-9 \pm 99}}{2} \] Находим два значения: 1. \( v = \frac{90}{2} = 45 \) (положительное значение) 2. \( v = \frac{-108}{2} = -54 \) (отрицательное значение, не подходит) Таким образом, скорость второго автомобиля равна \( 45 \) км/ч. Теперь найдем скорость первого автомобиля: \[ v + 9 = 45 + 9 = 54 \text{ км/ч} \] **Ответ:** Скорость первого автомобиля составляет \( 54 \) км/ч.