Два автомобиля одновременно отправились в 540 -километровый пробег. Первый ехал со скоростью на 9 км/ч больше, чем второй, и прибыл к финишу на 2 ч раньше второго. Найди скорость…

Для решения задачи начнем с обозначений. Пусть:

• Скорость второго автомобиля (медленнее) равна \( v \) км/ч.
• Скорость первого автомобиля (быстрее) будет тогда равна \( v + 9 \) км/ч.

Обозначим время, которое требуется второму автомобилю для прохождения 540 км, как \( t \) часов. Тогда время, которое требуется первому автомобилю, будет \( t - 2 \) часа, так как он прибыл на 2 часа раньше.

Теперь можем записать уравнения для времени в зависимости от скорости и расстояния. Время находится по формуле:

\[ t = \frac{S}{v} \]

где \( S \) — расстояние, \( v \) — скорость.

Для второго автомобиля:

\[ t = \frac{540}{v} \]

Для первого автомобиля:

\[ t - 2 = \frac{540}{v + 9} \]

Теперь можем подставить значение \( t \) из первого уравнения во второе:

\[ \frac{540}{v} - 2 = \frac{540}{v + 9} \]

Умножим оба выражения на \( v(v + 9) \) для избавления от дробей:

\[ 540(v + 9) - 2v(v + 9) = 540v \]

Раскроем скобки:

\[ 540v + 4860 - 2v^2 - 18v = 540v \]

Теперь упростим уравнение:

\[ 4860 - 2v^2 - 18v = 0 \]

Перепишем уравнение в стандартной форме:

\[ 2v^2 + 18v - 4860 = 0 \]

Разделим все коэффициенты на 2:

\[ v^2 + 9v - 2430 = 0 \]

Теперь применим формулу решения квадратного уравнения:

\[ v = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a} \]

Здесь \( a = 1 \), \( b = 9 \), \( c = -2430 \):

\[ b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2430) = 81 + 9720 = 9801 \]

Теперь находим корень:

\[ \sqrt{9801} = 99 \]

Теперь подставляем значение в формулу:

\[ v = \frac{{-9 \pm 99}}{2} \]

Находим два значения:

1. \( v = \frac{90}{2} = 45 \) (положительное значение)
2. \( v = \frac{-108}{2} = -54 \) (отрицательное значение, не подходит)

Таким образом, скорость второго автомобиля равна \( 45 \) км/ч.

Теперь найдем скорость первого автомобиля:

\[ v + 9 = 45 + 9 = 54 \text{ км/ч} \]

Ответ: Скорость первого автомобиля составляет \( 54 \) км/ч.