Около равностороннего треугольника описана окружность, а радиус вписанной в данный треугольник окружности равен /10 см. Найди площадь кругов, ограниченных описанной и вписанной в…

Давайте разберем данную задачу шаг за шагом.

1. Определение радиусов окружностей:
   В равностороннем треугольнике радиус вписанной (число r) и описанной окружностей (число R) находятся по следующим формулам:

   • Радиус вписанной окружности (r) равен \( r = \frac{a \cdot \sqrt{3}}{6} \), где \( a \) — длина стороны треугольника.
   • Радиус описанной окружности (R) равен \( R = \frac{a}{\sqrt{3}} \).

   В данной задаче нам дан радиус вписанной окружности \( r = 10 \, \text{см} \).

2. Находится длина стороны треугольника:
   Используя формулу для радиуса вписанной окружности, можно выразить сторону треугольника:

   \[ r = \frac{a \cdot \sqrt{3}}{6} \quad \Rightarrow \quad a = \frac{6r}{\sqrt{3}} = \frac{6 \cdot 10}{\sqrt{3}} = \frac{60}{\sqrt{3}} \approx 34.64 \, \text{см} \]

3. Находим радиус описанной окружности:
   Теперь, зная длину стороны \( a \), мы можем найти радиус описанной окружности:

   \[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{\frac{60}{\sqrt{3}}}{\sqrt{3}} = \frac{60}{3} = 20 \, \text{см} \]

4. Находим площади кругов:

   • Площадь меньшего круга (вписанная окружность):

   \[ S_меньшего = \pi r^2 = \pi (10)^2 = 100\pi \, \text{см}^2 \approx 314.16 \, \text{см}^2 \]

   • Площадь большего круга (описанная окружность):

   \[ S_большого = \pi R^2 = \pi (20)^2 = 400\pi \, \text{см}^2 \approx 1256.64 \, \text{см}^2 \]

5. Записываем окончательные результаты:

   • \( S_{\text{меньшего}} \approx 314.16 \, \text{см}^2 \)
   • \( S_{\text{большого}} \approx 1256.64 \, \text{см}^2 \)

Таким образом, площадь кругов, ограниченных вписанной и описанной окружностями, составляет примерно:

• Площадь меньшего круга (вписанной окружности): \( 100\pi \approx 314.16 \, \text{см}^2 \)
• Площадь большего круга (описанной окружности): \( 400\pi \approx 1256.64 \, \text{см}^2 \)