Прибор состоит из 10 узлов. Вероятность безотказной работы каждого узла за некоторое время 1 равна р = 0.8. Узлы выходят из строя независимо друг от друга. Найдите вероятность…

Решим задачу, используя основы теории вероятностей, а именно распределение Пуассона и биномиальное распределение.

1. Определения и данные:
   У нас есть 10 узлов, каждый из которых работает с вероятностью \( p = 0.8 \). Следовательно, вероятность отказа узла равна \( q = 1 - p = 0.2 \). Мы хотим найти вероятность того, что из 10 узлов откажут ровно 4.

2. Использование биномиального распределения:
   Так как отказы узлов независимы, мы можем использовать биномиальное распределение, которое описывает количество успехов в сериях независимых испытаний. В данном случае "успех" — это отказ узла.

   Формула для биномиального распределения выглядит так:

   \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \]

   Где:

   • \( n \) — общее количество испытаний (в нашем случае 10 узлов),
   • \( k \) — количество успехов (в нашем случае отказавших узлов, 4),
   • \( p \) — вероятность успеха (здесь это \( 0.2 \), вероятность отказа).

3. Подстановка значений в формулу:
   Подставим наши значения в формулу:

   \[ P(X = 4) = \binom{10}{4} (0.2)^4 (0.8)^{10-4} \]

   • Сначала найдем биномиальный коэффициент \( \binom{10}{4} \):

   \[ \binom{10}{4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210 \]

   • Теперь вычислим \( (0.2)^4 \) и \( (0.8)^6 \):

   \[ (0.2)^4 = 0.0016 \] \[ (0.8)^6 = 0.262144 \]

4. Подсчет вероятности:
   Теперь подставляем все вычисленные значения обратно в формулу:

   \[ P(X = 4) = 210 \times 0.0016 \times 0.262144 \]

   Считаем:

   \[ P(X = 4) = 210 \times 0.0016 \times 0.262144 \approx 0.08808 \]

5. Ответ:
   Вероятность того, что из 10 узлов откажут ровно 4, составляет примерно \( 0.08808 \) или 8.8%.

Это будет ответ на задачу с подробным объяснением всех шагов. Если есть дополнительные вопросы, пожалуйста, задавайте!