Прибор состоит из 10 узлов. Вероятность безотказной работы каждого узла за некоторое время 1 равна р = 0.8. Узлы выходят из строя независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что за время t откажут 4 узла.

Решим задачу, используя основы теории вероятностей, а именно распределение Пуассона и биномиальное распределение. 1. **Определения и данные:** У нас есть 10 узлов, каждый из которых работает с вероятностью \( p = 0.8 \). Следовательно, вероятность отказа узла равна \( q = 1 - p = 0.2 \). Мы хотим найти вероятность того, что из 10 узлов откажут ровно 4. 2. **Использование биномиального распределения:** Так как отказы узлов независимы, мы можем использовать биномиальное распределение, которое описывает количество успехов в сериях независимых испытаний. В данном случае "успех" — это отказ узла. Формула для биномиального распределения выглядит так: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \] Где: - \( n \) — общее количество испытаний (в нашем случае 10 узлов), - \( k \) — количество успехов (в нашем случае отказавших узлов, 4), - \( p \) — вероятность успеха (здесь это \( 0.2 \), вероятность отказа). 3. **Подстановка значений в формулу:** Подставим наши значения в формулу: \[ P(X = 4) = \binom{10}{4} (0.2)^4 (0.8)^{10-4} \] - Сначала найдем биномиальный коэффициент \( \binom{10}{4} \): \[ \binom{10}{4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210 \] - Теперь вычислим \( (0.2)^4 \) и \( (0.8)^6 \): \[ (0.2)^4 = 0.0016 \] \[ (0.8)^6 = 0.262144 \] 4. **Подсчет вероятности:** Теперь подставляем все вычисленные значения обратно в формулу: \[ P(X = 4) = 210 \times 0.0016 \times 0.262144 \] Считаем: \[ P(X = 4) = 210 \times 0.0016 \times 0.262144 \approx 0.08808 \] 5. **Ответ:** Вероятность того, что из 10 узлов откажут ровно 4, составляет примерно \( 0.08808 \) или 8.8%. Это будет ответ на задачу с подробным объяснением всех шагов. Если есть дополнительные вопросы, пожалуйста, задавайте!