Найди решение системы уравнений {9y+13(2x−3y)=6x+16; {7x+5(3x−8y)=14y–16.
Давайте решим систему уравнений:
\( 9y + 13(2x - 3y) = 6x + 16 \)
\( 7x + 5(3x - 8y) = 14y - 16 \)
Шаг 1: Упростим каждое из уравнений
Уравнение 1:
\[ 9y + 13(2x - 3y) = 6x + 16 \]
Раскроем скобки:
\[ 9y + 26x - 39y = 6x + 16 \]
Соберем похожие слагаемые (объединим \(y\) и \(x\)):
\[ 26x - 6x + 9y - 39y = 16 \]
\[ 20x - 30y = 16 \]
Упростим уравнение, поделив все члены на 2:
\[ 10x - 15y = 8 \]
Или в более удобной форме:
\[ 10x - 15y - 8 = 0 \quad (1) \]
Уравнение 2:
\[ 7x + 5(3x - 8y) = 14y - 16 \]
Раскроем скобки:
\[ 7x + 15x - 40y = 14y - 16 \]
Соберем похожие слагаемые:
\[ 7x + 15x + 16 = 14y + 40y \]
\[ 22x + 16 = 54y \]
Упростим уравнение:
\[ 22x - 54y + 16 = 0 \quad (2) \]
Шаг 2: Перепишем систему уравнений
Теперь у нас есть система уравнений:
- \( 10x - 15y - 8 = 0 \)
- \( 22x - 54y + 16 = 0 \)
Шаг 3: Упростим уравнения для решения
Мы можем выразить \(y\) через \(x\) из первого уравнения:
\[ 10x - 15y = 8 \]
\[ -15y = 8 - 10x \]
\[ y = \frac{10x - 8}{15} \]
Теперь подставим это выражение для \(y\) во второе уравнение:
\[ 22x - 54\left(\frac{10x - 8}{15}\right) + 16 = 0 \]
Умножим на 15, чтобы избавиться от дробей:
\[ 15 \cdot 22x - 54(10x - 8) + 15 \cdot 16 = 0 \]
\[ 330x - 540x + 432 + 240 = 0 \]
Соберем все члены:
\[ -210x + 672 = 0 \]
Решаем это уравнение для \(x\):
\[ 210x = 672 \]
\[ x = \frac{672}{210} = \frac{224}{70} = \frac{32}{10} = 3.2 \]
Шаг 4: Подставим значение x обратно для нахождения y
Теперь подставим значение \(x\) обратно в уравнение для \(y\):
\[ y = \frac{10(3.2) - 8}{15} \]
\[ y = \frac{32 - 8}{15} = \frac{24}{15} = \frac{8}{5} = 1.6 \]
Ответ
Таким образом, решение нашей системы уравнений:
- \( x = 3.2 \)
- \( y = 1.6 \)
Мы нашли значения переменных \(x\) и \(y\) в данной системе уравнений.
