Упростить выражение

Для упрощения выражения \(4 \sin 22^\circ 30' \cos 22^\circ 30'\) можно воспользоваться тригонометрическим тождеством:

\[ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \]

Подставим \(\alpha = 22^\circ 30'\) в это тождество:

\[ \sin(2 \times 22^\circ 30') = 2 \sin 22^\circ 30' \cos 22^\circ 30' \]

Значение \(2 \times 22^\circ 30'\) равно \(45^\circ\). Поэтому:

\[ \sin 45^\circ = 2 \sin 22^\circ 30' \cos 22^\circ 30' \]

Известно, что \(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

Теперь вернемся к изначальному выражению:

\[ 4 \sin 22^\circ 30' \cos 22^\circ 30' = 2 \times 2 \sin 22^\circ 30' \cos 22^\circ 30' \]

Тогда:

\[ 2 \sin 22^\circ 30' \cos 22^\circ 30' = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Следовательно,

\[ 4 \sin 22^\circ 30' \cos 22^\circ 30' = 2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \]

Поэтому упрощенное значение выражения — \(\sqrt{2}\).