Для упрощения выражения (4 \sin 22^\circ 30' \cos 22^\circ 30') можно воспользоваться тригонометрическим тождеством:
[
\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha
]
Подставим (\alpha = 22^\circ 30') в это тождество:
[
\sin(2 \times 22^\circ 30') = 2 \sin 22^\circ 30' \cos 22^\circ 30'
]
Значение (2 \times 22^\circ 30') равно (45^\circ). Поэтому:
[
\sin 45^\circ = 2 \sin 22^\circ 30' \cos 22^\circ 30'
]
Известно, что (\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}).
Теперь вернемся к изначальному выражению:
[
4 \sin 22^\circ 30' \cos 22^\circ 30' = 2 \times 2 \sin 22^\circ 30' \cos 22^\circ 30'
]
Тогда:
[
2 \sin 22^\circ 30' \cos 22^\circ 30' = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}
]
Следовательно,
[
4 \sin 22^\circ 30' \cos 22^\circ 30' = 2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}
]
Поэтому упрощенное значение выражения — (\sqrt{2}).
