Прибор состоит из 10 узлов. Вероятность безотказной работы каждого узла за некоторое время 1 равна р = 0.8. Узлы выходят из строя независимо друг от друга. Найдите вероятность…

Давайте решим задачу, связанную с вероятностями отказов узлов.

У нас есть прибор, состоящий из 10 узлов, и вероятность безотказной работы каждого узла равна \( p = 0.8 \). Это означает, что вероятность отказа узла равна \( q = 1 - p = 0.2 \), так как узлы выходят из строя независимо друг от друга.

Задача

Мы хотим найти вероятность того, что за время \( t \) откажут 4 узла.

Подход к решению

Эта задача может быть решена с помощью формулы биномиального распределения, которая моделирует количество успехов (в данном случае отказов) в фиксированном числе независимых испытаний (узлы), где каждый узел может "отказать" с некоторой вероятностью.

Формула биномиального распределения:

Вероятность получения \( k \) успехов (в нашем случае, отказов) из \( n \) испытаний (узлов) задается следующей формулой:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]

где:

• \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент (число способов выбрать \( k \) успехов из \( n \)),
• \( p \) — вероятность успеха (в нашем случае, вероятность отказа \( q = 0.2 \)),
• \( n \) — общее число испытаний (узлов),
• \( X \) — случайная величина (количество отказов).

Определяем параметры задачи

• \( n = 10 \) (количество узлов),
• \( k = 4 \) (необходимое количество отказов),
• \( p = q = 0.2 \) (вероятность отказа узла).

Рассчитываем биномиальный коэффициент

Биномиальный коэффициент \( C(n, k) \) вычисляется как:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!} \]

В нашем случае:

\[ C(10, 4) = \frac{10!}{4! \cdot 6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210 \]

Подставляем данные в формулу

Теперь подставим всё в формулу биномиального распределения:

\[ P(X = 4) = C(10, 4) \cdot (0.2)^4 \cdot (0.8)^{10 - 4} \]

Подсчитаем отдельно:

1. \( (0.2)^4 = 0.0016 \)
2. \( (0.8)^6 = 0.262144 \)

Теперь подставим значения:

\[ P(X = 4) = 210 \cdot 0.0016 \cdot 0.262144 \]

3. Умножаем:

\[ 210 \cdot 0.0016 = 0.336 \] \[ 0.336 \cdot 0.262144 \approx 0.0879 \]

Ответ

Таким образом, вероятность того, что за время \( t \) откажут 4 узла, составляет примерно \( P(X = 4) \approx 0.0879 \) или 8.79%.

Это означает, что есть приблизительно 8.79% вероятность того, что из 10 узлов 4 выйдут из строя за заданный период времени.