Давайте решим задачу, связанную с вероятностями отказов узлов.
У нас есть прибор, состоящий из 10 узлов, и вероятность безотказной работы каждого узла равна ( p = 0.8 ). Это означает, что вероятность отказа узла равна ( q = 1 - p = 0.2 ), так как узлы выходят из строя независимо друг от друга.
Задача
Мы хотим найти вероятность того, что за время ( t ) откажут 4 узла.
Подход к решению
Эта задача может быть решена с помощью формулы биномиального распределения, которая моделирует количество успехов (в данном случае отказов) в фиксированном числе независимых испытаний (узлы), где каждый узел может "отказать" с некоторой вероятностью.
Формула биномиального распределения:
Вероятность получения ( k ) успехов (в нашем случае, отказов) из ( n ) испытаний (узлов) задается следующей формулой:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}
]
где:
- ( C(n, k) ) — биномиальный коэффициент (число способов выбрать ( k ) успехов из ( n )),
- ( p ) — вероятность успеха (в нашем случае, вероятность отказа ( q = 0.2 )),
- ( n ) — общее число испытаний (узлов),
- ( X ) — случайная величина (количество отказов).
Определяем параметры задачи
- ( n = 10 ) (количество узлов),
- ( k = 4 ) (необходимое количество отказов),
- ( p = q = 0.2 ) (вероятность отказа узла).
Рассчитываем биномиальный коэффициент
Биномиальный коэффициент ( C(n, k) ) вычисляется как:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!}
]
В нашем случае:
[
C(10, 4) = \frac{10!}{4! \cdot 6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210
]
Подставляем данные в формулу
Теперь подставим всё в формулу биномиального распределения:
[
P(X = 4) = C(10, 4) \cdot (0.2)^4 \cdot (0.8)^{10 - 4}
]
Подсчитаем отдельно:
- ( (0.2)^4 = 0.0016 )
- ( (0.8)^6 = 0.262144 )
Теперь подставим значения:
[
P(X = 4) = 210 \cdot 0.0016 \cdot 0.262144
]
- Умножаем:
[
210 \cdot 0.0016 = 0.336
]
[
0.336 \cdot 0.262144 \approx 0.0879
]
Ответ
Таким образом, вероятность того, что за время ( t ) откажут 4 узла, составляет примерно ( P(X = 4) \approx 0.0879 ) или 8.79%.
Это означает, что есть приблизительно 8.79% вероятность того, что из 10 узлов 4 выйдут из строя за заданный период времени.
