Чтобы найти периметр треугольника ABC с вершинами A(2; 3), B(11; 8) и C(9; 10), нам нужно выполнить несколько шагов. Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. Для начала найдем длины сторон AB, BC и AC, используя формулу расстояния между двумя точками на координатной плоскости.
Шаг 1: Вычисление длин сторон
Для двух точек ( (x_1, y_1) ) и ( (x_2, y_2) ) длина отрезка между ними (расстояние) вычисляется по формуле:
[
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
]
1.1 Длина стороны AB
Координаты точек A и B:
Подставим в формулу:
[
AB = \sqrt{(11 - 2)^2 + (8 - 3)^2} = \sqrt{(9)^2 + (5)^2} = \sqrt{81 + 25} = \sqrt{106}
]
1.2 Длина стороны BC
Координаты точек B и C:
Подставим в формулу:
[
BC = \sqrt{(9 - 11)^2 + (10 - 8)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
]
1.3 Длина стороны AC
Координаты точек A и C:
Подставим в формулу:
[
AC = \sqrt{(9 - 2)^2 + (10 - 3)^2} = \sqrt{(7)^2 + (7)^2} = \sqrt{49 + 49} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}
]
Шаг 2: Нахождение периметра
Теперь, когда мы знаем длины всех сторон, можем рассчитать периметр треугольника ABC:
[
P = AB + BC + AC
]
Подставим найденные значения:
[
P = \sqrt{106} + 2\sqrt{2} + 7\sqrt{2}
]
Объединим подобные члены:
[
P = \sqrt{106} + 9\sqrt{2}
]
Результат
Периметр треугольника ABC:
[
P \approx \sqrt{106} + 9\sqrt{2}
]
Это окончательное выражение периметра. Если нужно получить числовое значение, можно подставить приближенные значения для (\sqrt{106} \approx 10.2956) и (\sqrt{2} \approx 1.4142):
[
P \approx 10.2956 + 9 \cdot 1.4142 \approx 10.2956 + 12.7278 \approx 23.0234
]
Таким образом, периметр треугольника ABC составляет примерно 23.0234 единицы.
