Гадалка Ариана придумывает новый способ предсказания судьбы с помощью карт. Для этого она выкладывает 16 карт на стол, сложив их в одну стопку. Потом Ариана берёт со стола одну…

Для решения данной задачи рассмотрим стратегию раскладывания карт и как это связано с произведениями количества карт в стопках.

1. Начальные условия. У нас есть 16 карт, и Ариана может разделить любую стопку, которая содержит больше одной карты. Каждый раз, когда она делит стопку на две части, она перемножает количество карт в этих частях и записывает произведение в "волшебную книгу".

2. Произведение карт. Если Ариана делит стопку, в которой k карт, на две части с a и b картами (где \( a + b = k \)), то произведение записывается как \( a \cdot b \).

3. Максимизация записи. Чтобы получить максимальную сумму всех чисел в книге, нужно проанализировать, какие разделения карт дают наибольшее произведение. Наилучшее разбиение для суммы \( k \) будет производить равные по числу части. Например, если \( k = 8 \), то самое большое произведение \( 4 \cdot 4 = 16 \).

4. Общая схема. Ариана продолжает делить карты, пока не останется по одной карте:

   • Начнем с 16 карт.
   • Разделим 16 на 8 и 8, произведение будет \( 8 \cdot 8 = 64 \).
   • Затем каждую из восьми карт разделим на 4 и 4:
     • Будет \( 4 \cdot 4 = 16 \) для каждой восьмёрки, но поскольку у нас их 2, это даёт 32.
   • Продолжаем делить 4 карты.
     • Разделим 4 на 2 и 2, давая \( 2 \cdot 2 = 4 \) (с каждой 4-кой, всего 4 произведения по 4).
   • Наконец, делим 2 карты по 1 и 1. Это даёт \( 1 \cdot 1 = 1 \) (но их записи в книге не ведутся, так как одна карта — это окончание).

5. Запись в книге. Таким образом, у нас есть:

   • 1-й раз: \( 16 \) на \( 8 \) и \( 8 \) (64);
   • 2-й раз: \( 8 \) на \( 4 \) и \( 4 \) (32);
   • 3-й раз: \( 4 \) на \( 2 \) и \( 2 \) (16).

   Сумма всех записей: \[ 64 + 32 + 16 = 112. \]

6. Ответ. Таким образом, сумма всех чисел, записанных в книге Арианы в конце гадания, составляет 112.