сумма двух натуральных чисел равна 28, а сумма квадратов этих чисел равна 394. найдите эти числа

Чтобы решить задачу, нужно найти два натуральных числа \( x \) и \( y \), которые удовлетворяют следующим условиям:

1. \( x + y = 28 \) (сумма чисел равна 28)
2. \( x^2 + y^2 = 394 \) (сумма квадратов чисел равна 394)

Шаг 1: Воспользуемся первым уравнением

Из первого уравнения мы можем выразить одно число через другое. Например, выразим \( y \):

\[ y = 28 - x \]

Шаг 2: Подставим \( y \) во второе уравнение

Теперь подставим \( y \) во второе уравнение:

\[ x^2 + (28 - x)^2 = 394 \]

Шаг 3: Раскроем скобки

Раскроем скобки в уравнении:

\[ x^2 + (28^2 - 2 \cdot 28 \cdot x + x^2) = 394 \]

Здесь \( 28^2 = 784 \), поэтому уравнение становится:

\[ x^2 + (784 - 56x + x^2) = 394 \]

Шаг 4: Соберем все члены в одном уравнении

Соберем все члены:

\[ 2x^2 - 56x + 784 - 394 = 0 \]

Упростим:

\[ 2x^2 - 56x + 390 = 0 \]

Теперь можно упростить уравнение, разделив его на 2:

\[ x^2 - 28x + 195 = 0 \]

Шаг 5: Найдем дискриминант

Теперь найдем дискриминант \( D \):

\[ D = b^2 - 4ac = (-28)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 195 \] \[ D = 784 - 780 = 4 \]

Шаг 6: Найдем корни уравнения

Корни уравнения можно найти с помощью формулы:

\[ x = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}} = \frac{{28 \pm \sqrt{4}}}{2} = \frac{{28 \pm 2}}{2} \]

Таким образом, у нас два корня:

1. \( x_1 = \frac{30}{2} = 15 \)
2. \( x_2 = \frac{26}{2} = 13 \)

Шаг 7: Найдем соответствующие числа

Теперь находим \( y \):

1. Если \( x = 15 \), то \( y = 28 - 15 = 13 \).
2. Если \( x = 13 \), то \( y = 28 - 13 = 15 \).

Ответ

Итак, найденные числа: \( 13 \) и \( 15 \).

Проверка

1. Сумма: \( 13 + 15 = 28 \) (верно)
2. Сумма квадратов: \( 13^2 + 15^2 = 169 + 225 = 394 \) (верно)

Таким образом, ответ верный. Числа - это 13 и 15.