Реши

Для решения системы уравнений способом подстановки, выберем уравнение из каждой пары и выразим одну переменную через другую. Затем подставим это выражение во второе уравнение. Решим каждую из предложенных систем:

А)

\[ \begin{cases} y = x + 6, \\ -4y = -3x + 2. \end{cases} \]

1. Выразим \(y\) из первого уравнения: \[ y = x + 6. \]

2. Подставим это выражение во второе уравнение: \[ -4(x + 6) = -3x + 2. \]

3. Раскроем скобки и упростим: \[ -4x - 24 = -3x + 2. \]

4. Перенесём все члены с \(x\) влево, а числа вправо: \[ -4x + 3x = 2 + 24, \] \[ -x = 26. \]

5. Умножим обе стороны уравнения на -1: \[ x = -26. \]

6. Подставим значение \(x\) в уравнение для \(y\): \[ y = -26 + 6 = -20. \]

Решение: \(x = -26, \, y = -20\).

Б)

\[ \begin{cases} x - y = 2, \\ xy = 15. \end{cases} \]

1. Выразим \(x\) из первого уравнения: \[ x = y + 2. \]

2. Подставим это выражение во второе уравнение: \[ (y + 2)y = 15, \] \[ y^2 + 2y = 15. \]

3. Решим квадратное уравнение: \[ y^2 + 2y - 15 = 0. \]

4. Найдём корни по формуле дискриминанта: \[ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64, \] \[ y_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 \pm 8}{2}. \]

5. \(y_1 = 3, y_2 = -5\).

6. Для \(y = 3\), \(x = y + 2 = 5\). Для \(y = -5\), \(x = y + 2 = -3\).

Решения: \( (x = 5, y = 3) \) и \( (x = -3, y = -5) \).

В)

\[ \begin{cases} x - y = 3, \\ x^2 + y^2 = 29. \end{cases} \]

1. Выразим \(x\) из первого уравнения: \[ x = y + 3. \]

2. Подставим это в третье уравнение: \[ (y + 3)^2 + y^2 = 29, \] \[ y^2 + 6y + 9 + y^2 = 29, \] \[ 2y^2 + 6y - 20 = 0. \]

3. Упростим уравнение: \[ y^2 + 3y - 10 = 0. \]

4. Найдём дискриминант: \[ D = 3^2 - 4\cdot1\cdot(-10) = 9 + 40 = 49, \] \[ y_{1,2} = \frac{-3 \pm 7}{2}. \]

5. \(y_1 = 2, y_2 = -5\).

6. Для \(y = 2\), \(x = y + 3 = 5\). Для \(y = -5\), \(x = y + 3 = -2\).

Решения: \( (x = 5, y = 2) \) и \( (x = -2, y = -5) \).

Г)

\[ \begin{cases} y - 3x = 3, \\ 5x^2 - y = 11. \end{cases} \]

1. Выразим \(y\) из первого уравнения: \[ y = 3x + 3. \]

2. Подставим это в второе уравнение: \[ 5x^2 - (3x + 3) = 11, \] \[ 5x^2 - 3x - 3 = 11, \] \[ 5x^2 - 3x - 14 = 0. \]

3. Найдём дискриминант: \[ D = (-3)^2 - 4\cdot5\cdot(-14) = 9 + 280 = 289, \] \[ x_{1,2} = \frac{3 \pm 17}{10}. \]

4. \(x_1 = 2, x_2 = -1.4\).

5. Для \(x = 2\), \(y = 3 \cdot 2 + 3 = 9\). Для \(x = -1.4\), \(y = 3 \cdot (-1.4) + 3 = -1.2\).

Решения: \( (x = 2, y = 9) \) и \( (x = -1.4, y = -1.2) \).

Д)

\[ \begin{cases} 2x^2 - 3y^2 = 5, \\ 2x - y = 3. \end{cases} \]

1. Выразим \(y\) из второго уравнения: \[ y = 2x - 3. \]

2. Подставим это в первое уравнение: \[ 2x^2 - 3(2x - 3)^2 = 5, \] \[ 2x^2 - 3(4x^2 - 12x + 9) = 5, \] \[ 2x^2 - 12x^2 + 36x - 27 = 5, \] \[ -10x^2 + 36x - 32 = 0. \]

3. Упростим уравнение, разделив на -2: \[ 5x^2 - 18x + 16 = 0. \]

4. Найдём дискриминант: \[ D = (-18)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 16 = 324 - 320 = 4, \] \[ x_{1,2} = \frac{18 \pm 2}{10}. \]

5. \(x_1 = 2, x_2 = 1.6\).

6. Для \(x = 2\), \(y = 2 \cdot 2 - 3 = 1\). Для \(x = 1.6\), \(y = 2 \cdot 1.6 - 3 = 0.2\).

Решения: \( (x = 2, y = 1) \) и \( (x = 1.6, y = 0.2) \).