Моторная лодка за 4 ч по течению реки и 3 ч по озеру проходит 148 км. Найти скорость лодки в стоячей воде и скорость течения, если за 2 ч по озеру лодка проходит на 50 км меньше,…

Чтобы решить задачу о моторной лодке, будем использовать систему уравнений. Давайте обозначим скорость лодки в стоячей воде как \( v \) (в км/ч), а скорость течения реки как \( c \) (в км/ч).

1. Условия задачи

• Лодка за 4 часа по течению реки: \[ \text{Расстояние по течению} = (v + c) \cdot 4 \]

• Лодка за 3 часа по озеру: \[ \text{Расстояние по озеру} = v \cdot 3 \]

Согласно условию, общее расстояние, пройденное лодкой, составляет 148 км: \[ 4(v + c) + 3v = 148 \]

2. Дополнительное условие

• Лодка за 2 часа по озеру проходит: \[ \text{Расстояние за 2 ч по озеру} = v \cdot 2 \]

• Лодка за 5 часов против течения: \[ \text{Расстояние против течения} = (v - c) \cdot 5 \]

Согласно условию, расстояние по озеру на 50 км меньше, чем расстояние против течения: \[ 2v = (v - c) \cdot 5 - 50 \]

3. Составление системы уравнений

Теперь у нас есть две основные формулы:

1. \( 4(v + c) + 3v = 148 \)
2. \( 2v = (v - c) \cdot 5 - 50 \)

4. Упрощаем первое уравнение

Распределим и сложим: \[ 4v + 4c + 3v = 148 \] \[ 7v + 4c = 148 \quad \text{(уравнение 1)} \]

5. Упрощаем второе уравнение

Раскроем скобки: \[ 2v = 5v - 5c - 50 \] Приведем все к одной стороне: \[ 2v - 5v + 5c = -50 \] \[ -3v + 5c = -50 \] Умножим на -1: \[ 3v - 5c = 50 \quad \text{(уравнение 2)} \]

6. Решаем систему уравнений

Теперь у нас есть система:

1. \( 7v + 4c = 148 \)
2. \( 3v - 5c = 50 \)

Для удобства выразим \( c \) через \( v \) из второго уравнения: \[ 5c = 3v - 50 \implies c = \frac{3v - 50}{5} \]

Подставим \( c \) в первое уравнение: \[ 7v + 4\left(\frac{3v - 50}{5}\right) = 148 \] Умножим все на 5, чтобы избавиться от дробей: \[ 35v + 4(3v - 50) = 740 \] Распределим: \[ 35v + 12v - 200 = 740 \] Сложим похожие члены: \[ 47v - 200 = 740 \] Теперь решим для \( v \): \[ 47v = 940 \implies v = \frac{940}{47} = 20 \]

7. Находим \( c \)

Теперь подставим \( v \) обратно в уравнение для \( c \): \[ c = \frac{3(20) - 50}{5} = \frac{60 - 50}{5} = \frac{10}{5} = 2 \]

8. Ответ

• Скорость лодки в стоячей воде \( v = 20 \) км/ч.
• Скорость течения \( c = 2 \) км/ч.

Таким образом, мы нашли скорости лодки и течения.