x²-y²=3

Решим уравнение \( x^2 - y^2 = 3 \). Это уравнение представляет собой разность квадратов, которую можно разложить на множители. Давайте разберёмся, как это сделать шаг за шагом.

Шаг 1: Раскройте разность квадратов

Известно, что разность квадратов может быть представлена следующим образом:

\[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \]

В нашем случае \( a = x \) и \( b = y \). Поэтому уравнение \( x^2 - y^2 = 3 \) можно записать как:

\[ (x - y)(x + y) = 3 \]

Шаг 2: Найдите возможные пары факторов

Теперь нужно найти такие пары \( (x - y) \) и \( (x + y) \), произведение которых равно 3. Возможные пары целых чисел, произведение которых равно 3, следующие:

1. \( (1, 3) \)
2. \( (3, 1) \)
3. \( (-1, -3) \)
4. \( (-3, -1) \)

Другие комбинации могут включать дробные числа, но начнём с целых.

Шаг 3: Решение для каждой пары

Теперь мы решим систему уравнений для каждой пары.

Пара 1: \( x - y = 1 \) и \( x + y = 3 \)

1. \( x - y = 1 \) (1)
2. \( x + y = 3 \) (2)

Сложим (1) и (2):

\[ (x - y) + (x + y) = 1 + 3 \\ 2x = 4 \\ x = 2 \]

Теперь подставим значение \( x \) в уравнение (1):

\[ 2 - y = 1 \\ y = 2 - 1 = 1 \]

Таким образом, первая пара решений: \( (2, 1) \).

Пара 2: \( x - y = 3 \) и \( x + y = 1 \)

1. \( x - y = 3 \) (1)
2. \( x + y = 1 \) (2)

Сложим (1) и (2):

\[ (x - y) + (x + y) = 3 + 1 \\ 2x = 4 \\ x = 2 \]

Теперь подставим значение \( x \):

\[ 2 - y = 3 \\ y = 2 - 3 = -1 \]

Таким образом, вторая пара решений: \( (2, -1) \).

Пара 3: \( x - y = -1 \) и \( x + y = -3 \)

1. \( x - y = -1 \) (1)
2. \( x + y = -3 \) (2)

Сложим (1) и (2):

\[ (x - y) + (x + y) = -1 - 3 \\ 2x = -4 \\ x = -2 \]

Теперь подставим значение \( x \):

\[ -2 - y = -1 \\ y = -2 + 1 = -1 \]

Таким образом, третья пара решений: \( (-2, -1) \).

Пара 4: \( x - y = -3 \) и \( x + y = -1 \)

1. \( x - y = -3 \) (1)
2. \( x + y = -1 \) (2)

Сложим (1) и (2):

\[ (x - y) + (x + y) = -3 - 1 \\ 2x = -4 \\ x = -2 \]

Теперь подставим значение \( x \):

\[ -2 - y = -3 \\ y = -2 + 3 = 1 \]

Таким образом, четвёртая пара решений: \( (-2, 1) \).

Шаг 4: Список решений

После всех расчетов, у нас есть следующие решения для уравнения \( x^2 - y^2 = 3 \):

1. \( (2, 1) \)
2. \( (2, -1) \)
3. \( (-2, -1) \)
4. \( (-2, 1) \)

Эти пары \( (x, y) \) являются решениями нашего уравнения. Надеюсь, это объяснение помогло вам понять, как решать подобные задачи! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать.