X²-y²=3

Решим уравнение \( x^2 - y^2 = 3 \). Это уравнение представляет собой разность квадратов, которую можно разложить на множители. Давайте разберёмся, как это сделать шаг за шагом. ### Шаг 1: Раскройте разность квадратов Известно, что разность квадратов может быть представлена следующим образом: \[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \] В нашем случае \( a = x \) и \( b = y \). Поэтому уравнение \( x^2 - y^2 = 3 \) можно записать как: \[ (x - y)(x + y) = 3 \] ### Шаг 2: Найдите возможные пары факторов Теперь нужно найти такие пары \( (x - y) \) и \( (x + y) \), произведение которых равно 3. Возможные пары целых чисел, произведение которых равно 3, следующие: 1. \( (1, 3) \) 2. \( (3, 1) \) 3. \( (-1, -3) \) 4. \( (-3, -1) \) Другие комбинации могут включать дробные числа, но начнём с целых. ### Шаг 3: Решение для каждой пары Теперь мы решим систему уравнений для каждой пары. #### Пара 1: \( x - y = 1 \) и \( x + y = 3 \) 1. \( x - y = 1 \) (1) 2. \( x + y = 3 \) (2) Сложим (1) и (2): \[ (x - y) + (x + y) = 1 + 3 \\ 2x = 4 \\ x = 2 \] Теперь подставим значение \( x \) в уравнение (1): \[ 2 - y = 1 \\ y = 2 - 1 = 1 \] Таким образом, первая пара решений: \( (2, 1) \). #### Пара 2: \( x - y = 3 \) и \( x + y = 1 \) 1. \( x - y = 3 \) (1) 2. \( x + y = 1 \) (2) Сложим (1) и (2): \[ (x - y) + (x + y) = 3 + 1 \\ 2x = 4 \\ x = 2 \] Теперь подставим значение \( x \): \[ 2 - y = 3 \\ y = 2 - 3 = -1 \] Таким образом, вторая пара решений: \( (2, -1) \). #### Пара 3: \( x - y = -1 \) и \( x + y = -3 \) 1. \( x - y = -1 \) (1) 2. \( x + y = -3 \) (2) Сложим (1) и (2): \[ (x - y) + (x + y) = -1 - 3 \\ 2x = -4 \\ x = -2 \] Теперь подставим значение \( x \): \[ -2 - y = -1 \\ y = -2 + 1 = -1 \] Таким образом, третья пара решений: \( (-2, -1) \). #### Пара 4: \( x - y = -3 \) и \( x + y = -1 \) 1. \( x - y = -3 \) (1) 2. \( x + y = -1 \) (2) Сложим (1) и (2): \[ (x - y) + (x + y) = -3 - 1 \\ 2x = -4 \\ x = -2 \] Теперь подставим значение \( x \): \[ -2 - y = -3 \\ y = -2 + 3 = 1 \] Таким образом, четвёртая пара решений: \( (-2, 1) \). ### Шаг 4: Список решений После всех расчетов, у нас есть следующие решения для уравнения \( x^2 - y^2 = 3 \): 1. \( (2, 1) \) 2. \( (2, -1) \) 3. \( (-2, -1) \) 4. \( (-2, 1) \) Эти пары \( (x, y) \) являются решениями нашего уравнения. Надеюсь, это объяснение помогло вам понять, как решать подобные задачи! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать.