Для решения данной задачи воспользуемся законом преломления света, который формулируется как закон Снеллиуса:
[
n_1 \cdot \sin(\theta_1) = n_2 \cdot \sin(\theta_2)
]
где:
- ( n_1 ) — показатель преломления первой среды (в воздухе он примерно равен 1),
- ( n_2 ) — показатель преломления второй среды (жидкость),
- ( \theta_1 ) — угол падения света (в нашем случае 45°),
- ( \theta_2 ) — угол преломления света (в нашем случае 30°).
Шаг 1: Вычисление показателя преломления жидкости
Подставим известные значения в закон Снеллиуса:
[
1 \cdot \sin(45^\circ) = n_2 \cdot \sin(30^\circ)
]
Теперь, вычислим синусы углов:
- (\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2})
- (\sin(30^\circ) = \frac{1}{2})
Теперь подставим их в уравнение:
[
\frac{\sqrt{2}}{2} = n_2 \cdot \frac{1}{2}
]
Решим это уравнение относительно ( n_2 ):
- Умножим обе стороны на 2:
[
\sqrt{2} = n_2
]
Таким образом, показатель преломления жидкости:
[
n_2 = \sqrt{2} \approx 1.414
]
Шаг 2: Угол падения, при котором угол между отраженным и преломленным лучами составит 90°
Для того чтобы угол между отраженным и преломленным лучами составил 90°, мы можем воспользоваться тем, что:
[
\theta_{отражение} + \theta_{преломление} = 90^\circ
]
При отражении угол равен углу падения ((\theta_{отражение} = \theta_{падение})).
Таким образом, пусть угол падения равен (\theta):
[
\theta + \theta_{преломление} = 90^\circ
]
Отсюда следует, что:
[
\theta_{преломление} = 90^\circ - \theta
]
Теперь можно воспользоваться законом Снеллиуса:
[
n_1 \cdot \sin(\theta) = n_2 \cdot \sin(90^\circ - \theta)
]
Синус угла ((90^\circ - \theta)) равен (\cos(\theta)):
[
1 \cdot \sin(\theta) = n_2 \cdot \cos(\theta)
]
Подставим ( n_2 = \sqrt{2} ):
[
\sin(\theta) = \sqrt{2} \cdot \cos(\theta)
]
Теперь вспомним тригонометрическую идентичность (\sin(\theta) = \cos(\theta) \cdot \tan(\theta)):
[
\cos(\theta) \cdot \tan(\theta) = \sqrt{2} \cdot \cos(\theta)
]
При условии (\cos(\theta) \neq 0), можем сократить на (\cos(\theta)):
[
\tan(\theta) = \sqrt{2}
]
Теперь найдём угол:
[
\theta = \arctan(\sqrt{2}) \approx 54.74^\circ
]
Ответы:
- Показатель преломления жидкости: ( n_2 = \sqrt{2} \approx 1.414 ).
- Угол падения, при котором угол между отраженным и преломленным лучами составит 90°: ( \theta \approx 54.74^\circ ).
