Задачи на составление систем уравнений 2 Площадь прямоугольника равна 120 см², а диагональ его равна 17 см. Найти стороны прямоугольника. 3 Прямоугольный участок земли площадью…

Давайте решим каждую задачу по порядку.

Задача 1

Площадь прямоугольника равна 120 см², а диагональ его равна 17 см. Найти стороны прямоугольника.

Обозначим стороны прямоугольника как \(a\) и \(b\). Из условия задачи у нас есть два уравнения:

1. \(ab = 120\) (площадь прямоугольника)
2. \(a^2 + b^2 = 17^2\) (по теореме Пифагора)

Теперь подставим значение для диагонали: \[ 17^2 = 289 \] Таким образом, у нас два уравнения:

1. \(ab = 120\)
2. \(a^2 + b^2 = 289\)

Теперь выразим \(b\) через \(a\) из первого уравнения: \[ b = \frac{120}{a} \]

Подставим \(b\) во второе уравнение: \[ a^2 + \left(\frac{120}{a}\right)^2 = 289 \]

Возведем \(\frac{120}{a}\) в квадрат: \[ a^2 + \frac{14400}{a^2} = 289 \]

Умножим на \(a^2\) (чтобы избавиться от деления): \[ a^4 - 289a^2 + 14400 = 0 \]

Пусть \(x = a^2\). Тогда уравнение становится: \[ x^2 - 289x + 14400 = 0 \]

Теперь используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 289^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14400 = 83521 - 57600 = 25921 \]

Корни уравнения: \[ x = \frac{289 \pm \sqrt{25921}}{2} = \frac{289 \pm 161}{2} \]

1. \(x_1 = \frac{450}{2} = 225\)
2. \(x_2 = \frac{128}{2} = 64\)

Возвращаясь к \(a^2\):

• \(a^2 = 225 \Rightarrow a = 15\)
• \(a^2 = 64 \Rightarrow a = 8\)

Так, стороны прямоугольника: \[ a = 15 \quad \text{и} \quad b = 8 \quad \text{или} \quad a = 8 \quad \text{и} \quad b = 15 \]

Ответ: Стороны прямоугольника: 15 см и 8 см.

---

Задача 2

Прямоугольный участок земли площадью 2400 м² обнесен кругом изгородью, длина которой равна 200 м. Найти длину и ширину этого участка.

Обозначим стороны прямоугольника как \(a\) и \(b\). У нас есть два уравнения:

1. \(ab = 2400\) (площадь)
2. \(2a + 2b = 200\) (периметр)

Сократим второе уравнение: \[ a + b = 100 \]

Теперь из второго уравнения выразим \(b\): \[ b = 100 - a \]

Подставим в первое уравнение: \[ a(100 - a) = 2400 \] \[ 100a - a^2 = 2400 \] Преобразуем уравнение: \[ a^2 - 100a + 2400 = 0 \]

Находим дискриминант: \[ D = 100^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2400 = 10000 - 9600 = 400 \]

Корни уравнения: \[ a = \frac{100 \pm \sqrt{400}}{2} = \frac{100 \pm 20}{2} \]

1. \(a_1 = \frac{120}{2} = 60\)
2. \(a_2 = \frac{80}{2} = 40\)

Значит:

• Если \(a = 60\), тогда \(b = 100 - 60 = 40\).
• Если \(a = 40\), тогда \(b = 100 - 40 = 60\).

Ответ: Длина и ширина: 60 м и 40 м.

---

Задача 3

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 41 см, а его площадь 180 см². Найти катеты.

Обозначим катеты как \(a\) и \(b\). У нас есть два уравнения:

1. \(a^2 + b^2 = 41^2\) (по теореме Пифагора)
2. \(\frac{1}{2}ab = 180\) (площадь треугольника)

Из второго уравнения выразим \(ab\): \[ ab = 360 \]

Теперь у нас есть два уравнения:

1. \(a^2 + b^2 = 1681\)
2. \(ab = 360\)

Используем формулу для суммы квадратов: \[ (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \] Обозначим \(s = a + b\) и подставим известные значения: \[ s^2 = 1681 + 720 \] \[ s^2 = 2401 \] \[ s = 49 \]

Теперь у нас есть две новых переменных:

1. \(a + b = 49\)
2. \(ab = 360\)

Эти два уравнения можно решить как квадратное: \[ t^2 - 49t + 360 = 0 \]

Находим дискриминант: \[ D = 49^2 - 4 \cdot 1 \cdot 360 = 2401 - 1440 = 961 \]

Корни уравнения: \[ t = \frac{49 \pm \sqrt{961}}{2} = \frac{49 \pm 31}{2} \]

1. \(t_1 = \frac{80}{2} = 40\)
2. \(t_2 = \frac{18}{2} = 9\)

Так, катеты: \[ a = 40 \quad \text{и} \quad b = 9 \quad \text{или} \quad a = 9 \quad \text{и} \quad b = 40 \]

Ответ: Катеты: 40 см и 9 см.