9 - 6/2^tgx = 3/2 × 2^(2cos(x-π/4) / (√2 cosx) )

Давайте решим уравнение пошагово:

Уравнение:

\[ 9 - \frac{6}{2^{\tan(x)}} = \frac{3}{2} \times 2^{\frac{2\cos(x - \frac{\pi}{4})}{\sqrt{2} \cos(x)}} \]

Шаг 1: Упростим левую часть уравнения

Левая часть уравнения: \[ 9 - \frac{6}{2^{\tan(x)}} \]

Шаг 2: Упростим правую часть уравнения

Теперь обратим внимание на правую часть: \[ \frac{3}{2} \times 2^{\frac{2\cos(x - \frac{\pi}{4})}{\sqrt{2} \cos(x)}} \]

Шаг 3: Попробуем упростить выражение для \(\cos(x - \frac{\pi}{4})\)

Согласно формуле косинуса разности, имеем: \[ \cos(x - \frac{\pi}{4}) = \cos(x) \cos(\frac{\pi}{4}) + \sin(x) \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos(x) + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin(x) \] Следовательно: \[ 2\cos(x - \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} \cos(x) + \sqrt{2} \sin(x) \]

Подставляем это в правую часть: \[ \frac{3}{2} \times 2^{\frac{\sqrt{2} \cos(x) + \sqrt{2} \sin(x)}{\sqrt{2} \cos(x)}} \] \[ = \frac{3}{2} \times 2^{1 + \frac{\sin(x)}{\cos(x)}} \] \[ = \frac{3}{2} \times 2 \times 2^{\tan(x)} = 3 \times 2^{\tan(x)} \]

Теперь у нас есть уравнение: \[ 9 - \frac{6}{2^{\tan(x)}} = 3 \times 2^{\tan(x)} \]

Шаг 4: Приведем все к одной стороне

Перепишем уравнение: \[ 9 = 3 \times 2^{\tan(x)} + \frac{6}{2^{\tan(x)}} \]

Умножим обе стороны на \(2^{\tan(x)}\) для устранения дроби: \[ 9 \times 2^{\tan(x)} = 3 \times 2^{2\tan(x)} + 6 \]

Шаг 5: Перепишем уравнение

Переместим все в одну сторону, чтобы решить: \[ 3 \times 2^{2\tan(x)} - 9 \times 2^{\tan(x)} + 6 = 0 \]

Шаг 6: Введем замену

Пусть \(y = 2^{\tan(x)}\), тогда уравнение становится: \[ 3y^2 - 9y + 6 = 0 \]

Шаг 7: Найдем дискриминант

Используем дискриминант для нахождения корней: \[ D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \times 3 \times 6 = 81 - 72 = 9 \]

Шаг 8: Найдем корни уравнения

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm 3}{6} \]

1. Первый корень: \[ y_1 = \frac{9 + 3}{6} = \frac{12}{6} = 2 \]
2. Второй корень: \[ y_2 = \frac{9 - 3}{6} = \frac{6}{6} = 1 \]

Шаг 9: Вернемся к переменной \(x\)

Теперь нам нужно решить \(2^{\tan(x)} = 2\) и \(2^{\tan(x)} = 1\).

1. Для первого корня: \[ \tan(x) = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + n\pi, \, n \in \mathbb{Z} \]

2. Для второго корня: \[ \tan(x) = 0 \implies x = n\pi, \, n \in \mathbb{Z} \]

Ответ:

Таким образом, мы получили два типа решений:

1. \(x = \frac{\pi}{4} + n\pi\), где \(n\) — целое число.
2. \(x = n\pi\), где \(n\) — целое число.

Если у вас есть дополнительные вопросы по этой задаче или другим темам, не стесняйтесь обращаться!