у={3х²+6х+4,если 0≤х≤2 . {4/х,если 2<х≤4
Давайте разберем данное задание.
Мы имеем функцию, определенную кусочно:
\[ u = \begin{cases} 3x^2 + 6x + 4, & \text{если } 0 \leq x \leq 2 \\ \frac{4}{x}, & \text{если } 2 < x \leq 4 \end{cases} \]
Шаг 1: Области определения
Функция определена на интервале от 0 до 4, причем в этом интервале она принимает разные формы в зависимости от значения \( x \).
- Для \( 0 \leq x \leq 2 \) функция равна \( 3x^2 + 6x + 4 \).
- Для \( 2 < x \leq 4 \) функция равна \( \frac{4}{x} \).
Шаг 2: Изучение первой части функции: \( 3x^2 + 6x + 4 \)
1. Находим значение функции на границах:
При \( x = 0 \): \[ u(0) = 3(0)^2 + 6(0) + 4 = 4 \]
При \( x = 2 \): \[ u(2) = 3(2)^2 + 6(2) + 4 = 3 \cdot 4 + 12 + 4 = 12 + 12 + 4 = 28 \]
2. Находим производную для определения, является ли функция возрастающей или убывающей:
\[ u'(x) = 6x + 6 \]
- Найдем, когда \( u'(x) = 0 \): \[ 6x + 6 = 0 \implies x = -1 \]
Поскольку \( x = -1 \) не входит в наш интервал \( [0, 2] \), то \( u'(x) > 0 \) на всем интервале, значит функция возрастает на этом отрезке.
Шаг 3: Изучение второй части функции: \( \frac{4}{x} \)
1. Находим значение функции на границах:
При \( x = 2 \): \[ u(2) = \frac{4}{2} = 2 \]
При \( x = 4 \): \[ u(4) = \frac{4}{4} = 1 \]
2. Находим производную для анализа:
\[ u'(x) = -\frac{4}{x^2} \]
Так как производная отрицательна для \( 2 < x \leq 4 \), функция убывает на этом отрезке.
Шаг 4: Результаты и поведение функции
- На интервале \( [0, 2] \) функция возрастает от \( 4 \) до \( 28 \).
- На интервале \( (2, 4] \) функция убывает от \( 2 \) до \( 1 \).
Шаг 5: Завершение анализа
Для окончательного анализа функции можно следовательно отметить:
- Область определения: \( [0, 4] \)
- Значения у \( u \):
- На интервале \( [0, 2] \): от \( 4 \) до \( 28 \)
- На интервале \( (2, 4] \): от \( 2 \) до \( 1 \)
Вот краткое резюме поведения функции \( u(x) \):
- Растет на \( [0, 2] \).
- Убывает на \( (2, 4] \).
Подведение итогов
Это решение должно помочь вам понять, как анализировать кусочные функции, находить их значение на границах интервалов и определять, возрастает или убывает функция на каждом из них. Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужно объяснить другие аспекты, не стесняйтесь спрашивать!
