У={3х²+6х+4,если 0≤х≤2 . {4/х,если 2<х≤4

Давайте разберем данное задание. Мы имеем функцию, определенную кусочно: \[ u = \begin{cases} 3x^2 + 6x + 4, & \text{если } 0 \leq x \leq 2 \\ \frac{4}{x}, & \text{если } 2 < x \leq 4 \end{cases} \] ### Шаг 1: Области определения Функция определена на интервале от 0 до 4, причем в этом интервале она принимает разные формы в зависимости от значения \( x \). - Для \( 0 \leq x \leq 2 \) функция равна \( 3x^2 + 6x + 4 \). - Для \( 2 < x \leq 4 \) функция равна \( \frac{4}{x} \). ### Шаг 2: Изучение первой части функции: \( 3x^2 + 6x + 4 \) #### 1. Находим значение функции на границах: - При \( x = 0 \): \[ u(0) = 3(0)^2 + 6(0) + 4 = 4 \] - При \( x = 2 \): \[ u(2) = 3(2)^2 + 6(2) + 4 = 3 \cdot 4 + 12 + 4 = 12 + 12 + 4 = 28 \] #### 2. Находим производную для определения, является ли функция возрастающей или убывающей: \[ u'(x) = 6x + 6 \] - Найдем, когда \( u'(x) = 0 \): \[ 6x + 6 = 0 \implies x = -1 \] Поскольку \( x = -1 \) не входит в наш интервал \( [0, 2] \), то \( u'(x) > 0 \) на всем интервале, значит функция возрастает на этом отрезке. ### Шаг 3: Изучение второй части функции: \( \frac{4}{x} \) #### 1. Находим значение функции на границах: - При \( x = 2 \): \[ u(2) = \frac{4}{2} = 2 \] - При \( x = 4 \): \[ u(4) = \frac{4}{4} = 1 \] #### 2. Находим производную для анализа: \[ u'(x) = -\frac{4}{x^2} \] Так как производная отрицательна для \( 2 < x \leq 4 \), функция убывает на этом отрезке. ### Шаг 4: Результаты и поведение функции - На интервале \( [0, 2] \) функция возрастает от \( 4 \) до \( 28 \). - На интервале \( (2, 4] \) функция убывает от \( 2 \) до \( 1 \). ### Шаг 5: Завершение анализа Для окончательного анализа функции можно следовательно отметить: - Область определения: \( [0, 4] \) - Значения у \( u \): - На интервале \( [0, 2] \): от \( 4 \) до \( 28 \) - На интервале \( (2, 4] \): от \( 2 \) до \( 1 \) Вот краткое резюме поведения функции \( u(x) \): - Растет на \( [0, 2] \). - Убывает на \( (2, 4] \). ### Подведение итогов Это решение должно помочь вам понять, как анализировать кусочные функции, находить их значение на границах интервалов и определять, возрастает или убывает функция на каждом из них. Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужно объяснить другие аспекты, не стесняйтесь спрашивать!